最小生成树之Prim算法

MST（Minimum Spanning Tree，最小生成树）问题有两种通用的解法，Prim算法就是其中之一，它是从点的方面考虑构建一颗MST，大致思想是：设图G顶点集合为U，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合V，再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。因为有N个顶点，所以该MST就有N-1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。

用图示和代码说明：

初始状态：

设置2个数据结构：

lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0说明以i为终点的边的最小权值=0,也就是表示i点加入了MST

mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点，即说明边是MST的一条边，当mst[i]=0表示起点i加入MST

我们假设V1是起始点，进行初始化（*代表无限大，即无通路）：

lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*

mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有点默认起点是V1）

明显看出，以V3为终点的边的权值最小=1，所以边=1加入MST

此时，因为点V3的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3

明显看出，以V6为终点的边的权值最小=4，所以边=4加入MST

此时，因为点V6的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0

明显看出，以V4为终点的边的权值最小=2，所以边=4加入MST

此时，因为点V4的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0

明显看出，以V2为终点的边的权值最小=5，所以边=5加入MST

此时，因为点V2的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0

很明显，以V5为终点的边的权值最小=3，所以边=3加入MST

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0

至此，MST构建成功，如图所示：

根据上面的过程，可以容易的写出具体实现代码如下（cpp）：

#include
#include
using  namespace std;

#define MAX 100
#define MAXCOST 0x7fffffff

int graph[MAX][MAX];

int prim(int graph[][MAX], int n)
{
    int lowcost[MAX];
    int mst[MAX];
    int i, j, min, minid, sum = 0;
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        lowcost[i] = graph[1][i];
        mst[i] = 1;
    }
    mst[1] = 0;
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        min = MAXCOST;
        minid = 0;
        for (j = 2; j <= n; j++)
        {
            if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)
            {
                min = lowcost[j];
                minid = j;
            }
        }
        cout << ”V” << mst[minid] << “-V” << minid << “=” << min << endl;
        sum += min;
        lowcost[minid] = 0;
        for (j = 2; j <= n; j++)
        {
            if (graph[minid][j] < lowcost[j])
            {
                lowcost[j] = graph[minid][j];
                mst[j] = minid;
            }
        }
    }
    return sum;
}

int main()
{
    int i, j, k, m, n;
    int x, y, cost;
    ifstream in(”input.txt”);
    in >> m >> n;//m=顶点的个数，n=边的个数
    //初始化图G
    for (i = 1; i <= m; i++)
    {
        for (j = 1; j <= m; j++)
        {
            graph[i][j] = MAXCOST;
        }
    }
    //构建图G
    for (k = 1; k <= n; k++)
    {
        in >> i >> j >> cost;
        graph[i][j] = cost;
        graph[j][i] = cost;
    }
    //求解最小生成树
    cost = prim(graph, m);
    //输出最小权值和
    cout << ”最小权值和=” << cost << endl;
    system(”pause”);
    return 0;
}

如果只要求输出sum的值，直接把模板里的mst数组删除即可
#include
#include
using namespace std;
const int inf = 1 << 30;
int Map[110][110];
int n;
int d[110];///d数组表示离mst集合的最短距离，d[i] == 0表示i点进入mst
int prim()
{
    int sum =0;
    ///初始化d数组；
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        d[i] = Map[1][i];///设置从1开始将d数组设置成其他各点到点1的距离
    }
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        int x = 0, m = inf;
        ///找出在未加入mst集合中的点中离mst集合距离最短的点
        for(int j = 2; j <= n; j++)
        {
            if(d[j] < m && d[j])m = d[x = j];///这里要求d[i]!=0,因为d[i] == 0表示已经加入mst中
        }
        //cout << m << " " << x << endl;
        sum += m;
        d[x] = 0;
        ///更新数组d，使d[i]为i点离得加入x点的集合的距离
        for(int j = 2; j <= n; j++)
        {
            if(Map[x][j] < d[j])
            {
                d[j] = Map[x][j];
            }
        }
    }
    return sum;
}
int main()
{
    while(cin >> n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                cin >> Map[i][j];
        cout << prim() << endl;
    }
    return 0;
}