numpy 中的 broadcasting（广播）机制

broadcasting，广播，传递，赋值，拷贝；

一定要注意，执行 broadcast 的前提在于，两个 ndarray 执行的是 element-wise（按位加，按位减） 的运算，而不是矩阵乘法的运算，矩阵乘法运算时需要维度之间严格匹配。（且矩阵乘法，np.dot(A, B) 如果维度不匹配，提示的错误不会是 broadcast，而是 aligned）

我们常常会看到 python 编译器会提示如下类型的错误：

ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (8,4,3) (2,1)

那么如何理解这里的broadcast呢，matlab中并无对等的概念？

broadcasting机制的功能是为了方便不同shape的array（numpy库的核心数据结构）进行数学运算。

举一个简单的例子，实现对一个1-d array的每一个元素乘以2：

>>> a = np.array([1., 2., 3.])
>>> b = np.array([2., 2., 2.])
>>> a*b
array([2., 4., 6.])

broadcast的做法是：

>>> a = np.array([1., 2., 3.])
>>> b = 2.
>>> a*b
array([2., 4., 6.])

这也就解释了之前常常令人困惑的(3, )不同于(3, 1)（表shape）。

我们来看更为一般的broadcasting rules：

当操作两个array时，numpy会逐个比较它们的shape（构成的元组tuple），只有在下述情况下，两arrays才算兼容：

1. 相等
2. 其中一个为1，（进而可进行拷贝拓展已至，shape匹配）

1. 举例

举例说明：

Image (3d array):  256 x 256 x 3
Scale (1d array):              3
Result (3d array): 256 x 256 x 3

A      (4d array):  8 x 1 x 6 x 1
B      (3d array):      7 x 1 x 5
Result (4d array):  8 x 7 x 6 x 5

A      (2d array):  5 x 4
B      (1d array):      1
Result (2d array):  5 x 4

A      (2d array):  15 x 3 x 5
B      (1d array):  15 x 1 x 5
Result (2d array):  15 x 3 x 5

再来看一些不能进行broadcast的例子：

A  (1d array): 3
B  (1d array): 4        # 最后一维（trailing dimension）不匹配

A  (2d array):      2 x 1
B  (3d array):  8 x 4 x 3（倒数第二维不匹配）

我们再来看一些具体的应用：

>>> x = np.arange(4)
>> xx = x.reshape(4, 1)
>> y = np.ones(5)
>> z = np.ones((3, 4))

>>> x.shape
(4,)
>>> y.shape
(5,)
>>> x+y
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,) (5,) 

>>> xx.shape
(4, 1)
>>> y.shape
(5,)
>>> (xx+y).shape
(4, 5)
>>> xx + y
array([[ 1., 1., 1., 1., 1.], [ 2., 2., 2., 2., 2.], [ 3., 3., 3., 3., 3.], [ 4., 4., 4., 4., 4.]])

当执行xx+y时，numpy是如何进行copy扩展的呢？

xx     (2d array):      4 x 1
y      (1d array):          5
Result (2d array):      4 x 5

也即对xx重复5列，对y重复4行

# 对xx重复5列
# 等价于np.dot(xx, np.ones((1, 4)))
array([[ 0., 0., 0., 0.], [ 1., 1., 1., 1.], [ 2., 2., 2., 2.], [ 3., 3., 3., 3.]])
# 对y重复4行，
array([[ 1., 1., 1., 1., 1.], [ 1., 1., 1., 1., 1.], [ 1., 1., 1., 1., 1.], [ 1., 1., 1., 1., 1.]])

2. 补充

还有一点，注意和矩阵乘法的区别，当有一维数组参与运算时：

• 一维数组置于矩阵乘法的左部，被视为一个行向量；
• 一维数组置于矩阵乘法的右部，被视为一个列向量；
• （这样和一个一维数组作用无论在左还是在右）矩阵乘法运算结束得到的向量仍是一维数组。

x   (1d array) ->  5 ->  1, 5
W   (2d array) ->  5, 3 ->  5, 3 ->  3 (1d array)

>>> import numpy
>>> x = numpy.random.randn(5)
>>> x.shape
(5,)
>>> x.T.shape
(5,)                # 一维数组x并非严格意义上的行向量

>>> W = numpy.random.randn(5, 3)
>>> numpy.dot(x, W)
array([ 0.06489021, -3.08729591,  1.52169767])
>>> numpy.dot(x, W).shape
(3, )

>>> y = numpy.ones(3)
>>> y.shape
(3,)
>>> W.dot(y).shape
(5,)

references

[1]broadcasting