置信区间、置信水平、边际误差

假设

• 真实比例为 p ，取值范围为 0∼1 ，
• 观测到的比例（如抽样）的比例为 p^ （在统计理论中通常使用“帽子”也标志某数据的估值）
• 边际误差为 ϵ

所要求解的问题是：真实的比例 p 落在置信区间 [p^−ϵ,p^+ϵ] 的概率。

落在置信区间的标准通用采用 95%，这一数字被称为置信水平，表达我们对 p 成功落入区间的信息程度。

区间公式通过以下求解：

p=p^±1.96×p^(1−p^)n−−−−−−−−√=p^±ϵ

• 也可根据边际误差推测样本容量
• n 表示样本中的个体数量
• 公式表示未知的真实比例 p 有 95% 的概率落入 p^±ϵ ，也就是说，每 20 个这样的区间，平均有 19 个区间中有 p ，只有 1 个不在区间中。

值得注意的是，边际误差 ϵ 会随着样本容量的增加而减小，因此，访问的民众越多，民调就越可信。

95%⇒1.9699%⇒2.58

来看一个具体的示例，对 1000 人进行民调，有 400 人支持总统。 p^=0.4 ， n=1000 ，将其带入公式，置信区间就变为：

p=p^±1.96p^(1−p^)n−−−−−−−−√=0.4±0.03

许多民调的边际误差都保持在 3% 左右，这并非巧合。置信水平为 95%，则系数为 1.96，如果观测比例 p^ 与 0.5 接近，比如在 0.3 和 0.7 之间， p^(1−p^) 的平方根大约为 0.5。而 1.96 约等于 2，两者相乘的结果大概是 1，边际误差就约为 1n√ ：

ϵ=1n−−√

假设样本容量约为典型的 1000，边际误差就是 3%（ 11000√≈0.03 ）.

1. 具有欺骗性质的统计数据

如果在一项民调中，50.5%的人表达了对加入欧盟的支持。也即为了得出此结论，必须将边际误差降到 0.5%（下界不会跌破 50%），导致置信水平只有 25%.

这里的样本人数仍为 1000，则置信水平在 0.25 时的 Z 为 0.32，则其边际误差为：

0.32⋅0.51000−−−−√≈0.005

另一个没有代表性的样本例子是假设你在你家附近做晚间散步，发现你看到的 20 人里有 14 个人都在遛狗，可以得出 70% 的邻居都养狗了吗？

1.96×0.7×0.320−−−−−−−−√≈0.2008

再来看一个典型的案例，2005 年秋天，媒体报道小布什总统的支持率首次跌破 40%（好像这个 40% 是一个十分精确的数值一样）。从某种程度上是毫无意义的声明。虽然（抽样调查的）事实可能是前次民调显示支持率为 41%，下次结果则为 39%，这些数字的边际误差都是 3%，若建立其相关的置信区间，在部分区间上数值是重复的。没有边际误差的 41% 和 39% 不能说明一切，只有被我们表述为区间 [38, 44]（41%），[36, 42]（39%）时才有意义。不仅如此，我们也不能排除两次民调间支持率其实是存在上升的情况。

只有当差异大到完全超过边际误差（区间没有重叠）时，才能被称为具有统计显著性。