傅里叶变换--快速傅里叶变换实现

• 0.1. 定义
  • 0.1.1. 连续
  • 0.1.2. 离散
• 0.2. 性质
  • 0.2.1. 分离性
  • 0.2.2. 位移定理
  • 0.2.3. 周期性
  • 0.2.4. 共轭对称性
  • 0.2.5. 旋转性
  • 0.2.6. 加法定理
  • 0.2.7. 平均值
  • 0.2.8. 相似性定理
  • 0.2.9. 卷积定理
  • 0.2.10. 相关定理
  • 0.2.11. Rayleigh 定理
• 0.3. 快速傅里叶变换
  • 0.3.1. 复数中的单位根
  • 0.3.2. 快速傅里叶变换的计算
• 0.4. 代码
• 0.5. 参考

图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图像进行变换。
一般有如下变换方法

1. 傅立叶变换Fourier Transform
2. 离散余弦变换Discrete Cosine Transform
3. 沃尔希-哈德玛变换Walsh-Hadamard Transform
4. 斜变换Slant Transform
5. 哈尔变换Haar Transform
6. 离散K-L变换Discrete Karhunen-Leave Transform
7. 奇异值分解SVD变换Singular-Value Decomposition
8. 离散小波变换Discrete Wavelet Transform

这篇文章介绍一下傅里叶变换

0.1. 定义

0.1.1. 连续

积分形式
如果一个函数的绝对值的积分存在，即
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|h(t)|dt<\infty$$
并且函数是连续的或者只有有限个不连续点，则对于 x 的任何值， 函数的傅里叶变换存在

• 一维傅里叶变换
  $$H(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-j2\pi ft}dt$$
• 一维傅里叶逆变换
  $$H(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t)e^{j2\pi ft}dt$$
  同理多重积分

0.1.2. 离散

实际应用中，多用离散傅里叶变换 DFT.

• 一维傅里叶变换
  $$F(u)=\sum _{x=0}^{N-1}f(x)e^{\frac{-2\pi j}{N}ux}$$
• 一维傅里叶逆变换
  $$f(x)=\frac{1}{N}\sum _{u=0}^{N-1}F(u)e^{\frac{2\pi j}{N}ux}$$
  需要注意的是， 逆变换乘以 $\frac{1}{N}$ 是为了归一化，这个系数可以随意改变， 即可以正变换乘以 $\frac{1}{N}$, 逆变换就不乘，或者两者都乘以$\frac{1}{\sqrt{N}}$等系数。
• 二维傅里叶变换
  $$F(u,v)=\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N}(ux+vy)}$$
• 二维傅里叶逆变换

$$f(x,y)=\frac{1}{N}\sum _{u=0}^{N-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{\frac{2\pi j}{N}(ux+vy)}$$

幅度
$$|F(u,v)|=\sqrt{real(F{)}^2+imag(F{)}^2}$$
相位
$$arctan\frac{imag(F)}{real(F)}$$
对于图像的幅度谱显示，由于 |F(u,v)| 变换范围太大，一般显示 $D=log(|F(u,v)+1)$

用 <=> 表示傅里叶变换对
$$\begin{gathered} f(x)<=>F(u) \\ f(x,y)<=>F(u,v) \end{gathered}$$

f,g,h 对应的傅里叶变换 F,G,H

$F^{\ast }$ 表示 $F$ 的共轭

0.2. 性质

0.2.1. 分离性

$$\begin{array}{rl}& F(x,v)=\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N}vy}\\ & F(u,v)=\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N-1}F(x,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}ux}\end{array}$$
进行多维变换时，可以依次对每一维进行变换。 下面在代码中就是这样实现的。

0.2.2. 位移定理

$$f(x,y)e^{\frac{2\pi j}{N}(u_{0}x+v_{0}y)}<=>F(u-u_0,v-v_0)$$
$$f(x-x_0,y-y_0)<=>F(u,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}(u{x}_0+v{y}_0)}$$

0.2.3. 周期性

$$F(u,v)=F(u+N,v+N)$$

0.2.4. 共轭对称性

$$F(u,v)=F^{\ast }(-u,-v)$$
a)偶分量函数在变换中产生偶分量函数;
b)奇分量函数在变换中产生奇分量函数;
c)奇分量函数在变换中引入系数-j;
d)偶分量函数在变换中不引入系数.

0.2.5. 旋转性

if $$f(r,\theta )<=>F(\omega ,\varphi )$$
then $$f(r,\theta +t)<=>F(\omega ,\varphi +t)$$

0.2.6. 加法定理

$$Fourier[f+g]=Fourier[f]+Fourier[g]$$
2.
$$af(x,y)<=>aF[u,v]$$

0.2.7. 平均值

$$\frac{1}{N^2}\sum _{x=0}^{N-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)=\frac{1}{N}F(0,0)$$

0.2.8. 相似性定理

尺度变换
$$f(ax,by)<=>\frac{F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})}{ab}$$

0.2.9. 卷积定理

卷积定义
1d
$$f\ast g=\frac{1}{M}\sum _{m=0}^{M-1}f(m)g(x-m)$$
2d
$$f(x,y)\ast g(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}f(m,n)g(x-m,y-n)$$

卷积定理
$$f(x,y)\ast g(x,y)<=>F(u,v)G(u,v)$$
$$f(x,y)g(x,y)<=>F(u,v)\ast G(u,v)$$

离散卷积
用
$$\sum _{i=0}^{N-1}x(iT)h[(k-i)T]<=>X(\frac{n}{NT})H(\frac{n}{NT})$$
即两个周期为 N 的抽样函数， 他们的卷积的离散傅里叶变换等于他们的离散傅里叶变换的卷积

卷积的应用：
去除噪声， 特征增强
两个不同周期的信号卷积需要周期扩展的原因：如果直接进行傅里叶变换和乘积，会产生折叠误差(卷绕)。

0.2.10. 相关定理

下面用$ \infty$ 表示相关。
相关函数描述了两个信号之间的相似性，其相关性大小有相关系数衡量

• 相关函数的定义
  离散
  $$f(x,y)\infty g(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}{f}^{\ast }(m,n)g(x+m,y+n)$$
  连续
  $$z(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{\ast }(\tau )h(t+\tau )d\tau$$
• 定理
  $$f(x,y)\infty g(x,y)<=>F^{\ast }(u,v)G(u,v)$$

0.2.11. Rayleigh 定理

能量变换
对于有限区间非零函数 f(t), 其能量为
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt$$

其变换函数与原函数有相同的能量
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|F(u){|}^{2}dt$$

0.3. 快速傅里叶变换

由上面离散傅里叶变换的性质易知，直接计算 1维 dft 的时间复杂度维 $O(N^2)$。

利用到单位根的对称性，快速傅里叶变换可以达到 $O(nlogn)$的时间复杂度。

0.3.1. 复数中的单位根

我们知道， 在复平面，复数 $cos\theta +isin\theta$k可以表示成 $e^{i\theta }$， 可以对应一个向量。$\theta$即为幅角。
在单位圆中 ，单位圆被分成 $\frac{2\pi }{\theta }$ 份， 由单位圆的对称性
$$e^{i\theta }=e^{i(\theta +2\pi )}$$
现在记 $ n =\frac{ 2\pi }{\theta}$ ， 即被分成 n 份，幅度角为正且最小的向量称为 n 次单位向量， 记为${\omega }_n$，
其余的 n-1 个向量分别为 ${\omega }_n^2,{\omega }_n^3,\dots ,{\omega }_n^n$ ，它们可以由复数之间的乘法得来 $w_{n}^{k}=w_{n}{k-1}\cdot w_{n}^{1}\ (2 \leq k \leq n) $。
单位根的性质

1. 这个可以用 e 表示出来证明
   $${\omega }_{2n}^{2k}={\omega }_n^k$$
2. 可以写成三角函数证明
   $${\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}=-{\omega }_n^k$$

容易看出 $w_{n}^{n}=w_{n}{0}=1 $。

对于$ w_{n}^{k}$ , 它事实上就是 $e^{\frac{2\pi i}{n}k}$ 。

0.3.2. 快速傅里叶变换的计算

下面的推导假设 $n=2^k$，以及代码实现 FFT 部分也是 如此。

利用上面的对称性，
将傅里叶计算进行奇偶分组
$$\begin{array}{rl}F(u)& =\sum _{i=0}^{n-1}{\omega }_n^{iu}{a}^i\\ & =\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{\omega }_n^{2iu}{a}^{2i}+\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{\omega }_n^{(2i+1)u}{a}^{2i+1}\\ & =\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{\omega }_{\frac{n}{2}}^{iu}{a}^{2i}+{\omega }_n^u\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{\omega }_{\frac{n}{2}}^{iu}{a}^{2i+1}\\ & =F_{even}(u)+{\omega }_n^u{F}_{odd}(u)\end{array}$$
$F_{even}$表示将 输入的次序中偶数点进行 Fourier 变换， $F_{odd}$ 同理，这样就形成递推公式。
现在还没有减少计算量，下面通过将分别计算的 奇项，偶项利用起来，只计算 前 $\frac{n}{2}-1$项，后面的一半可以利用此结果马上算出来。每一次可以减少一半的计算量。

对于 $\frac{n}{2}\le i+\frac{n}{2}\le n-1$
$$\begin{array}{rl}F({\omega }_n^{i+\frac{n}{2}})& =F_{even}({\omega }_n^{2i+n})+{\omega }_n^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}({\omega }_n^{2i+n})\\ & =F_{even}({\omega }_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})+{\omega }_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}({\omega }_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})\\ & =F_{even}({\omega }_{\frac{n}{2}}^i)-{\omega }_{\frac{n}{2}}^i\cdot F_{odd}({\omega }_{\frac{n}{2}}^i)\end{array}$$
现在很清楚了，在每次计算 a[0…n-1] 的傅里叶变换F[0…n-1]，分别计算出奇 odd[0…n/2-1]，偶even[0…n/2-1]（可以递归地进行），
那么傅里叶变换为：
$$F[i]=\{\begin{array}{l}even[i]+{\omega }^i\cdot odd[i],i<\frac{n}{2}\\ even[i]-{\omega }^i\cdot odd[i],else\end{array}$$

0.4. 代码

下面是 python 实现
一维用 FFT 实现， 不过 只实现了 2 的幂。/ 对于非 2 的幂，用 FFT 实现有点困难，还需要插值，所以我 用$O(n^2)$ 直接实现。

二维的 DFT利用 分离性，直接调用 一维 FFT。
GitHub

import numpy as np


def _fft(a, invert=False):
    N = len(a)
    if N == 1:
        return [a[0]]
    elif N & (N - 1) == 0:  # O(nlogn), 2^k
        even = _fft(a[::2], invert)
        odd = _fft(a[1::2], invert)
        i = 2j if invert else -2j
        factor = np.exp(i * np.pi * np.arange(N // 2) / N)
        prod = factor * odd
        return np.concatenate([even + prod, even - prod])
    else:  # O(n^2)
        w = np.arange(N)
        i = 2j if invert else -2j
        m = w.reshape((N, 1)) * w
        W = np.exp(m * i * np.pi / N)
        return np.concatenate(np.dot(W, a.reshape(
            (N, 1))))  # important, cannot use *


def fft(a):
    '''fourier[a]'''
    n = len(a)
    if n == 0:
        raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
    return _fft(a)


def ifft(a):
    '''invert fourier[a]'''
    n = len(a)
    if n == 0:
        raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
    return _fft(a, True) / n


def fft2(arr):
    return np.apply_along_axis(fft, 0,
                               np.apply_along_axis(fft, 1, np.asarray(arr)))


def ifft2(arr):
    return np.apply_along_axis(ifft, 0,
                               np.apply_along_axis(ifft, 1, np.asarray(arr)))


def test(n=128):
    print('\nsequence length:', n)
    print('fft')
    li = np.random.random(n)
    print(np.allclose(fft(li), np.fft.fft(li)))

    print('ifft')
    li = np.random.random(n)
    print(np.allclose(ifft(li), np.fft.ifft(li)))

    print('fft2')
    li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
    print(np.allclose(fft2(li), np.fft.fft2(li)))

    print('ifft2')
    li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
    print(np.allclose(ifft2(li), np.fft.ifft2(li)))


if __name__ == '__main__':
    for i in range(1, 3):
        test(i * 16)

0.5. 参考

• 万寿红老师课件
• 一小时学会快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform
• 快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】

• 0.1. 定义
  • 0.1.1. 连续
  • 0.1.2. 离散
• 0.2. 性质
  • 0.2.1. 分离性
  • 0.2.2. 位移定理
  • 0.2.3. 周期性
  • 0.2.4. 共轭对称性
  • 0.2.5. 旋转性
  • 0.2.6. 加法定理
  • 0.2.7. 平均值
  • 0.2.8. 相似性定理
  • 0.2.9. 卷积定理
  • 0.2.10. 相关定理
  • 0.2.11. Rayleigh 定理
• 0.3. 快速傅里叶变换
  • 0.3.1. 复数中的单位根
  • 0.3.2. 快速傅里叶变换的计算
• 0.4. 代码
• 0.5. 参考

图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图像进行变换。
一般有如下变换方法

1. 傅立叶变换Fourier Transform
2. 离散余弦变换Discrete Cosine Transform
3. 沃尔希-哈德玛变换Walsh-Hadamard Transform
4. 斜变换Slant Transform
5. 哈尔变换Haar Transform
6. 离散K-L变换Discrete Karhunen-Leave Transform
7. 奇异值分解SVD变换Singular-Value Decomposition
8. 离散小波变换Discrete Wavelet Transform

这篇文章介绍一下傅里叶变换

0.1. 定义

0.1.1. 连续

积分形式
如果一个函数的绝对值的积分存在，即
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|h(t)|dt<\infty$$
并且函数是连续的或者只有有限个不连续点，则对于 x 的任何值， 函数的傅里叶变换存在

• 一维傅里叶变换
  $$H(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-j2\pi ft}dt$$
• 一维傅里叶逆变换
  $$H(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t)e^{j2\pi ft}dt$$
  同理多重积分

0.1.2. 离散

实际应用中，多用离散傅里叶变换 DFT.

• 一维傅里叶变换
  $$F(u)=\sum _{x=0}^{N-1}f(x)e^{\frac{-2\pi j}{N}ux}$$
• 一维傅里叶逆变换
  $$f(x)=\frac{1}{N}\sum _{u=0}^{N-1}F(u)e^{\frac{2\pi j}{N}ux}$$
  需要注意的是， 逆变换乘以 $\frac{1}{N}$ 是为了归一化，这个系数可以随意改变， 即可以正变换乘以 $\frac{1}{N}$, 逆变换就不乘，或者两者都乘以$\frac{1}{\sqrt{N}}$等系数。
• 二维傅里叶变换
  $$F(u,v)=\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N}(ux+vy)}$$
• 二维傅里叶逆变换

$$f(x,y)=\frac{1}{N}\sum _{u=0}^{N-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{\frac{2\pi j}{N}(ux+vy)}$$

幅度
$$|F(u,v)|=\sqrt{real(F{)}^2+imag(F{)}^2}$$
相位
$$arctan\frac{imag(F)}{real(F)}$$
对于图像的幅度谱显示，由于 |F(u,v)| 变换范围太大，一般显示 $D=log(|F(u,v)+1)$

用 <=> 表示傅里叶变换对
$$\begin{gathered} f(x)<=>F(u) \\ f(x,y)<=>F(u,v) \end{gathered}$$

f,g,h 对应的傅里叶变换 F,G,H

$F^{\ast }$ 表示 $F$ 的共轭

0.2. 性质

0.2.1. 分离性

$$\begin{array}{rl}& F(x,v)=\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N}vy}\\ & F(u,v)=\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N-1}F(x,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}ux}\end{array}$$
进行多维变换时，可以依次对每一维进行变换。 下面在代码中就是这样实现的。

0.2.2. 位移定理

$$f(x,y)e^{\frac{2\pi j}{N}(u_{0}x+v_{0}y)}<=>F(u-u_0,v-v_0)$$
$$f(x-x_0,y-y_0)<=>F(u,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}(u{x}_0+v{y}_0)}$$

0.2.3. 周期性

$$F(u,v)=F(u+N,v+N)$$

0.2.4. 共轭对称性

$$F(u,v)=F^{\ast }(-u,-v)$$
a)偶分量函数在变换中产生偶分量函数;
b)奇分量函数在变换中产生奇分量函数;
c)奇分量函数在变换中引入系数-j;
d)偶分量函数在变换中不引入系数.

0.2.5. 旋转性

if $$f(r,\theta )<=>F(\omega ,\varphi )$$
then $$f(r,\theta +t)<=>F(\omega ,\varphi +t)$$

0.2.6. 加法定理

$$Fourier[f+g]=Fourier[f]+Fourier[g]$$
2.
$$af(x,y)<=>aF[u,v]$$

0.2.7. 平均值

$$\frac{1}{N^2}\sum _{x=0}^{N-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)=\frac{1}{N}F(0,0)$$

0.2.8. 相似性定理

尺度变换
$$f(ax,by)<=>\frac{F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})}{ab}$$

0.2.9. 卷积定理

卷积定义
1d
$$f\ast g=\frac{1}{M}\sum _{m=0}^{M-1}f(m)g(x-m)$$
2d
$$f(x,y)\ast g(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}f(m,n)g(x-m,y-n)$$

卷积定理
$$f(x,y)\ast g(x,y)<=>F(u,v)G(u,v)$$
$$f(x,y)g(x,y)<=>F(u,v)\ast G(u,v)$$

离散卷积
用
$$\sum _{i=0}^{N-1}x(iT)h[(k-i)T]<=>X(\frac{n}{NT})H(\frac{n}{NT})$$
即两个周期为 N 的抽样函数， 他们的卷积的离散傅里叶变换等于他们的离散傅里叶变换的卷积

卷积的应用：
去除噪声， 特征增强
两个不同周期的信号卷积需要周期扩展的原因：如果直接进行傅里叶变换和乘积，会产生折叠误差(卷绕)。

0.2.10. 相关定理

下面用$ \infty$ 表示相关。
相关函数描述了两个信号之间的相似性，其相关性大小有相关系数衡量

• 相关函数的定义
  离散
  $$f(x,y)\infty g(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}{f}^{\ast }(m,n)g(x+m,y+n)$$
  连续
  $$z(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{\ast }(\tau )h(t+\tau )d\tau$$
• 定理
  $$f(x,y)\infty g(x,y)<=>F^{\ast }(u,v)G(u,v)$$

0.2.11. Rayleigh 定理

能量变换
对于有限区间非零函数 f(t), 其能量为
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt$$

其变换函数与原函数有相同的能量
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|F(u){|}^{2}dt$$

0.3. 快速傅里叶变换

由上面离散傅里叶变换的性质易知，直接计算 1维 dft 的时间复杂度维 $O(N^2)$。

利用到单位根的对称性，快速傅里叶变换可以达到 $O(nlogn)$的时间复杂度。

0.3.1. 复数中的单位根

我们知道， 在复平面，复数 $cos\theta +isin\theta$k可以表示成 $e^{i\theta }$， 可以对应一个向量。$\theta$即为幅角。
在单位圆中 ，单位圆被分成 $\frac{2\pi }{\theta }$ 份， 由单位圆的对称性
$$e^{i\theta }=e^{i(\theta +2\pi )}$$
现在记 $ n =\frac{ 2\pi }{\theta}$ ， 即被分成 n 份，幅度角为正且最小的向量称为 n 次单位向量， 记为${\omega }_n$，
其余的 n-1 个向量分别为 ${\omega }_n^2,{\omega }_n^3,\dots ,{\omega }_n^n$ ，它们可以由复数之间的乘法得来 $w_{n}^{k}=w_{n}{k-1}\cdot w_{n}^{1}\ (2 \leq k \leq n) $。
单位根的性质

1. 这个可以用 e 表示出来证明
   $${\omega }_{2n}^{2k}={\omega }_n^k$$
2. 可以写成三角函数证明
   $${\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}=-{\omega }_n^k$$

容易看出 $w_{n}^{n}=w_{n}{0}=1 $。

对于$ w_{n}^{k}$ , 它事实上就是 $e^{\frac{2\pi i}{n}k}$ 。

0.3.2. 快速傅里叶变换的计算

下面的推导假设 $n=2^k$，以及代码实现 FFT 部分也是 如此。

利用上面的对称性，
将傅里叶计算进行奇偶分组
$$\begin{array}{rl}F(u)& =\sum _{i=0}^{n-1}{\omega }_n^{iu}{a}^i\\ & =\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{\omega }_n^{2iu}{a}^{2i}+\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{\omega }_n^{(2i+1)u}{a}^{2i+1}\\ & =\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{\omega }_{\frac{n}{2}}^{iu}{a}^{2i}+{\omega }_n^u\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{\omega }_{\frac{n}{2}}^{iu}{a}^{2i+1}\\ & =F_{even}(u)+{\omega }_n^u{F}_{odd}(u)\end{array}$$
$F_{even}$表示将 输入的次序中偶数点进行 Fourier 变换， $F_{odd}$ 同理，这样就形成递推公式。
现在还没有减少计算量，下面通过将分别计算的 奇项，偶项利用起来，只计算 前 $\frac{n}{2}-1$项，后面的一半可以利用此结果马上算出来。每一次可以减少一半的计算量。

对于 $\frac{n}{2}\le i+\frac{n}{2}\le n-1$
$$\begin{array}{rl}F({\omega }_n^{i+\frac{n}{2}})& =F_{even}({\omega }_n^{2i+n})+{\omega }_n^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}({\omega }_n^{2i+n})\\ & =F_{even}({\omega }_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})+{\omega }_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}({\omega }_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})\\ & =F_{even}({\omega }_{\frac{n}{2}}^i)-{\omega }_{\frac{n}{2}}^i\cdot F_{odd}({\omega }_{\frac{n}{2}}^i)\end{array}$$
现在很清楚了，在每次计算 a[0…n-1] 的傅里叶变换F[0…n-1]，分别计算出奇 odd[0…n/2-1]，偶even[0…n/2-1]（可以递归地进行），
那么傅里叶变换为：
$$F[i]=\{\begin{array}{l}even[i]+{\omega }^i\cdot odd[i],i<\frac{n}{2}\\ even[i]-{\omega }^i\cdot odd[i],else\end{array}$$

0.4. 代码

下面是 python 实现
一维用 FFT 实现， 不过 只实现了 2 的幂。/ 对于非 2 的幂，用 FFT 实现有点困难，还需要插值，所以我 用$O(n^2)$ 直接实现。

二维的 DFT利用 分离性，直接调用 一维 FFT。
GitHub

import numpy as np


def _fft(a, invert=False):
    N = len(a)
    if N == 1:
        return [a[0]]
    elif N & (N - 1) == 0:  # O(nlogn), 2^k
        even = _fft(a[::2], invert)
        odd = _fft(a[1::2], invert)
        i = 2j if invert else -2j
        factor = np.exp(i * np.pi * np.arange(N // 2) / N)
        prod = factor * odd
        return np.concatenate([even + prod, even - prod])
    else:  # O(n^2)
        w = np.arange(N)
        i = 2j if invert else -2j
        m = w.reshape((N, 1)) * w
        W = np.exp(m * i * np.pi / N)
        return np.concatenate(np.dot(W, a.reshape(
            (N, 1))))  # important, cannot use *


def fft(a):
    '''fourier[a]'''
    n = len(a)
    if n == 0:
        raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
    return _fft(a)


def ifft(a):
    '''invert fourier[a]'''
    n = len(a)
    if n == 0:
        raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
    return _fft(a, True) / n


def fft2(arr):
    return np.apply_along_axis(fft, 0,
                               np.apply_along_axis(fft, 1, np.asarray(arr)))


def ifft2(arr):
    return np.apply_along_axis(ifft, 0,
                               np.apply_along_axis(ifft, 1, np.asarray(arr)))


def test(n=128):
    print('\nsequence length:', n)
    print('fft')
    li = np.random.random(n)
    print(np.allclose(fft(li), np.fft.fft(li)))

    print('ifft')
    li = np.random.random(n)
    print(np.allclose(ifft(li), np.fft.ifft(li)))

    print('fft2')
    li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
    print(np.allclose(fft2(li), np.fft.fft2(li)))

    print('ifft2')
    li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
    print(np.allclose(ifft2(li), np.fft.ifft2(li)))


if __name__ == '__main__':
    for i in range(1, 3):
        test(i * 16)

0.5. 参考

• 万寿红老师课件
• 一小时学会快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform
• 快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】