秦九韶算法

一般地,一元n次多项式的求值需要经过[n(n+1)]/2次乘法和n次加法,而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工计算时,一次大大简化了运算过程。特别是在现代,在使用计算机解决数学问题时,对于计算机程序算法而言秦九韶算法可以以更快的速度得到结果,减少了CPU运算时间。
  把一个n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式  秦九韶
  f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]
  =(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]
  =((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]
  =......
  =(......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].
  求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即
  v[0]=a[n]
  v[1]=a[n]x+a[n-1]
  然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
  v[2]=v[1]x+a[n-2]
  v[3]=v[2]x+a[n-3]
  ......
  v[n]=v[n-1]x+a[0]
  这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
  (注:中括号里的数表示下标)
  结论:对于一个n次多项式,至多做n次乘法和n次加法。

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