正则化惩罚

原文链接： https://www.zhihu.com/question/20924039

我尽量用通俗一点的话来解答一下楼主的问题，

r(d)可以理解为有d的参数进行约束，或者 D 向量有d个维度。
咱们将楼主的给的凸优化结构细化一点，别搞得那么抽象，不好解释；

, 其中，
咱们可以令: f() = .

ok，这个先介绍到这里，至于f(x)为什么用多项式的方式去模拟？相信也是很多人的疑问，很简单，大家看看高等数学当中的泰勒展开式就行了，任何函数都可以用多项式的方式去趋近，log x,lnx,等等都可以去趋近，而不同的函数曲线其实就是这些基础函数的组合，理所当然也可以用多项式去趋近，好了，这个就先解释到这里了。

接下来咱们看一下拟合的基础概念。
首先，用一个例子来理解什么是过拟合，假设我们要根据特征分类{男人X，女人O}。
请看下面三幅图，x1、x2、x3；

这三幅图很容易理解：
1、 图x1明显分类的有点欠缺，有很多的“男人”被分类成了“女人”。
2、 图x2虽然有两个点分类错误，但是能够理解，毕竟现实世界有噪音干扰，比如有些人男人留长发、化妆、人妖等等。
3、 图x3分类全部是正确的，但是看着这副图片，明显觉得过了，连人妖都区分的出来，可想而知，学习的时候需要更多的参数项，甚至将生殖器官的形状、喉结的大小、有没有胡须特征等都作为特征取用了，总而言之f(x)多项式的N特别的大，因为需要提供的特征多，或者提供的测试用例中我们使用到的特征非常多(一般而言，机器学习的过程中，很多特征是可以被丢弃掉的)。

好了，总结一下三幅图：
x1我们称之为【欠拟合】
x2我们称之为【分类正拟合】，随便取的名字，反正就是容错情况下刚好的意思。
x3我们称之为【过拟合】，这种情况是我们不希望出现的状况，为什么呢？很简单，它的分类只是适合于自己这个测试用例，对需要分类的真实样本而言，实用性可想而知的低。

恩，知道了过拟合是怎么回事之后，我们来看一下如何去规避这种风险。先不管什么书上说的、老师讲的、经验之说之类的文言文。咱们就站在第一次去接触这种分类模型的角度去看待这个问题，发散一下思维，我们应该如何去防止过拟合？
显而易见，我们应该从【过拟合】出现的特征去判别，才能规避吧？
显而易见，我们应该、而且只能去看【过拟合】的f(x)形式吧？
显而易见，我们从【过拟合】的图形可以看出f(x)的涉及到的特征项一定很多吧，即等等很多吧？
显而易见，N很大的时候，是等数量增长的吧？
显而易见，w系数都是学习来的吧？

So，现在知道这些信息之后，如何去防止过拟合，我们首先想到的就是控制N的数量吧，即让N最小化吧，而让N最小化，其实就是让W向量中项的个数最小化吧？
其中，W=()

PS: 可能有人会问，为什么是考虑W，而不是考虑X?很简单，你不知道下一个样本想x输入的是什么，所以你怎么知道如何去考虑x呢？相对而言，在下一次输入,即第k个样本之前，我们已经根据次测试样本的输入，计算(学习)出了W.就是这么个道理，很简单。

ok,any way.回到上面的思维导图的位置，我们再来思考，如何求解“让W向量中项的个数最小化”这个问题，学过数学的人是不是看到这个问题有点感觉？对，没错，这就是0范数的概念！什么是范数，我在这里只是给出个0-2范数定义，不做深究，以后有时间在给大家写点文章去分析范数的有趣玩法；
0范数，向量中非零元素的个数。
1范数，为绝对值之和。
2范数，就是通常意义上的模。

PS，貌似有人又会问，上面不是说求解“让W向量中项的个数最小化”吗？怎么与0范数的定义有点不一样，一句话，向量中0元素，对应的x样本中的项我们是不需要考虑的，可以砍掉。因为没有啥意义，说明项没有任何权重。so，一个意思啦。

ok，现在来回答楼主的问题，r(d) = “让W向量中项的个数最小化” =

所以为了防止过拟合，咱们除了需要前面的相加项最小，即楼主公式当中的
= 最小，我们还需要让r(d)=最小，所以，为了同时满足两项都最小化，咱们可以求解让和r(d)之和最小，这样不就同时满足两者了吗？如果r(d) 过大，再小也没用；相反r(d)再小，太大也失去了问题的意义。
说到这里我觉得楼主的问题我已经回答了，那就是为什么需要有个r(d)项，为什么r(d)能够防止过拟合原因了。

根据《男人帮》电影大结局的剧情：本来故事已经完成了，为了让大家不至于厌恶课本的正规理论，我们在加上一集内容，用以表达我对机器学习出书者的尊重；

书本中，或者很多机器学习的资料中，为了让全球的机器学习人员有个通用的术语，同时让大家便于死记硬本，给我上一段黑体字的部分的内容加上了一坨定义，例如：
我们管叫做经验风险，管上面我们思维导图的过程叫做正则化，所以顺其自然的管r(d)叫做正则化项，然后管+r(d) 叫做结构风险，所以顺其自然的正则化就是我们将结构风险最小化的过程，它们是等价的。
By the way，各位计算机界的叔叔、阿姨、伯伯、婶婶，经过不懈的努力，发现了这个公式很多有意思的地方，它们发现0范数比较恶心，很难求，求解的难度是个NP完全问题。然后很多脑袋瓜子聪明的叔叔、阿姨、伯伯、婶婶就想啊，0范数难求，咱们就求1范数呗，然后就研究出了下面的等式：

一定的条件我就不解释了，这里有一堆算法，例如主成分KPCA等等，例子我就不在举了，还是原话，以后我会尽量多写点这些算法生动点的推到过程，很简单，注重过程，不要死记硬背书本上的结果就好。
上面概括而言就是一句话总结：1范数和0范数可以实现稀疏，1因具有比L0更好的优化求解特性而被广泛应用。然后L2范数，是下面这么理解的，我就直接查别人给的解释好了，反正简单，就不自己动脑子解释了：
L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。我们让L2范数的正则项||W||2最小，可以使得W的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这里是有很大的区别的哦；所以大家比起1范数，更钟爱2范数。
所以我们就看到书籍中，一来就是，r(d)= 或者r(d)= 这种结构了，然后在机器学习当中还能看到下面的结构：
min{ } ， >=0
都是这么来的啦，万变不离其中。