离散数学题解-屈婉玲第 1 章 命 题 逻 辑

1.联结词

公式的层次 (1) 若 A 是单个的命题常项或变项, 则称 A 为 0 层公式.……

真值表 设公式 A 含 n( n≥1) 个命题变项, 将 A 在 2^n个赋值下的取值情况列成表,称为 A 的真值表.

公式的分类 设 A 为一个公式.
(1) 若 A 无成假赋值, 则称 A 为重言式或永真式;
(2) 若 A 无成真赋值, 则称 A 为矛盾式或永假式;
(3) 若 A 至少有一个成真赋值, 则称 A 为可满足式;
( 4) 若 A 至少有一个成真赋值, 又至少有一个成假赋值, 则称 A 为非重言式的可满足式.

等值式
(20) A→B <-> 非A∨B. 蕴含等值式
(22) A→B <-> 非B→ 非A. 假言易位
(24) (A→B)∧( A→ 非B) <-> 非A. 归谬论
【A假+A真B真，A→B为真 ，只有A真B假，A→B为假】

1. 联结词全功能集
   真值函数
   记{0, 1}^n = {0⋯0, ⋯, 1⋯1}, 即{0, 1} ^n是由 0, 1 组成的全体长为 n 的符号串集合. 称定义域为{0, 1}^n , 值域为{0, 1}的函数为 n 元真值函数. {0, 1} ^n到{0, 1}共有2^(2^n)个不同的真值函数.
   联结词全功能集
   设 S 为一个联结词集合, 若任意真值函数都可以仅用 S 中的联结词表示的公式所表示, 则称 S 为联结词全功能集.
   与非式
   设 p , q 为两命题, 复合命题“p 与 q 的否定”称为 p 与 q 的与非式, 记作p ↑q, ↑称为与非联结词. p↑q 为假当且仅当 p 与 q 同时为真.
   或非式
   设 p , q 为两命题, 复合命题“p 或 q 的否定”称为 p 与 q 的或非式, 记作p ↓q, ↓称为或非联结词. p↓q 为真当且仅当 p 与 q 同时为假.
   
   对偶式
   设公式 A 为仅含{非 , ∧, ∨}中联结词的公式, 将∨换成∧, ∧换成∨, 若含0, 换成 1, 若含 1, 换成 0, 所得公式记为 A*, 称 A*为 A 的对偶式
   文字
   称命题变项或其否定为文字.
   简单析取式
   由有限个文字组成的析取式称为简单析取式.
   简单合取式
   由有限个文字组成的合取式称为简单合取式.
   极小项
   在含 n 个命题变项的简单合取式中, 若每个命题变项以文字的形式在其中出现且仅出现一次, 而且第 i个命题变项以文字的形式出现在左起的第 i位上, 则称这样的简单合取式为极小项. n 个命题变项共可产生 2^n个不同的极小项, 分别记为 m 0 , m 1 , ⋯,m 2^n -1 , 其中 i( 0≤i≤2^n - 1)的二进制表示即为 mi 的成真赋值.
   极大项
   在含 n 个命题变项的简单析取式中, 若每个命题变项以文字的形式在其中出现且仅出现一次, 而且第 i个命题变项以文字的形式出现在左起的第 i位上, 称这样的简单析取式为极大项, n 个命题变项共可产生 2^n个不同的极大项, 分别记为 M 0 , M 1 , ⋯,M 2^n - 1 , 其中, i( 0≤i≤2^n - 1)的二进制表示即为 Mi 的成假赋值.