三角剖分与Delaunay三角剖分及带约束的Delaunay三角剖分

本博客参考 http://blog.csdn.net/raby_gyl/article/details/17409717
http://baike.baidu.com/view/1691145.html?tp=2_11
http://www.geomodel.net/article/code/20080601/7510.html
https://github.com/gwlucastrig/Tinfour/wiki/About-the-Constrained-Delaunay-Triangulation

1 三角剖分与Delaunay三角剖分是什么

1.1 三角剖分是什么
如何把散点集合剖分成的三角形网格，这就是三角剖分问题，通俗讲就是将无组织的点，连入三角网格中。三角剖分对图形学来说，是极为重要的一项预处理技术。

假设V是二维上的有限点集，边e是由点作端点构成的线段, E为e的集合。那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)满足：
1.除了端点外，边不包含其它点。
2.没有相交边。
3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集是散点集V的凸包。
1.2 Delaunay三角剖分是什么
Delaunay三角剖分：将一些无结构的散点组合成一个三角形网格，在很多方面这个三角形网格是最优的。Delaunay是一种特殊的，也是运用最多的三角剖分。
假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆经过a,b两点，圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含任何点。如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。

2 Delaunay三角剖分的要求、特性及构造

2.1 Delaunay三角剖分的要求
1、空圆特性：Delaunay三角网格是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。

2、最小角最大特性：在散点集形成Delaunay三角剖分中，所形成的三角形的最小角最大。具体的说是指交换任意两三角形构成四边形的对角线，六个内角的最小角不再增大。如下图所示：

2.2 Dealaunay三角剖分的特性
1.最接近：以最近的三点形成三角形。
2.唯一性：不论从区域何处开始构建，结果一致。
3.最优性：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线互换，两个三角形最小的角度不会变大。
4.区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。
5.凸包：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。
2.3 一种Delaunay的构造过程——逐点插入法
Delaunay剖分是一种三角剖分的标准，实现它有翻边算法、逐点插入算法、分割合并算法、Bowyer-Watson算法等。
理论上为了构造Delaunay三角网，Lawson提出的局部优化过程LOP(Local Optimization Procedure)，一般三角网经过LOP处理，即成为Delaunay三角网，其基本做法如下所示：
1.将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。
2.以最大空圆准则作检查，看其第四个顶点是否在三角形的外接圆之内。
3.如果在，修正对角线即将对角线对调，即完成局部优化过程的处理。
LOP处理过程如下图所示：

逐点插入的Lawson算法思路简单，易于编程实现。基本原理为：首先建立一个大的把所有数据点包围起来的凸包，向其中插入一点，该点与包含它的三角形三个顶点相连，形成三个新的三角形，然后逐个对它们进行空圆检测，同时用Lawson设计的局部优化过程LOP进行优化，即通过交换对角线的方法来保证所形成的三角网为Delaunay三角网。
由逐点插入的构网过程可知，遇到非Delaunay边时，通过删除调整，可以构造形成新的Delaunay边。在完成构网后，增加、删除、移动新点时，只需对新点的影响三角形范围进行局部联网。但在实际应用当中，如果点集范围是非凸区域或者存在内环，则会产生非法三角形。

3 带约束的Delaunay三角剖分

3.1 产生原因
Delaunay总是连接最相邻的点，有时这是不合适的。例如碰到断崖、狭窄的海岸线等。如果继续选择最相邻的点就会出现下面情况（网格会画到陆地上）：

3.2 措施
在三角网格中插入一组边，约束网格中顶点只能在自己的区域内连接。

3.3 缺点及解决

1. 出现太skinny,不符合Delaunary准则的三角形

2. 不能映射成Voronoi Diagram这种重要的图形结构

   可以沿着插入边增加合成点来解决这种缺陷。最好的方法是不断的取中点添加，这样用最少的额外点来达到目的。