大数乘法问题及其高效算法

题目

编写两个任意位数的大数相乘的程序，给出计算结果。比如：

题目描述： 输出两个不超过100位的大整数的乘积。 
输入： 输入两个大整数，如1234567 和 123 
输出： 输出乘积，如：151851741

或者

求 1234567891011121314151617181920 * 2019181716151413121110987654321 的乘积结果

分析

所谓大数相乘（Multiplication algorithm），就是指数字比较大，相乘的结果超出了基本类型的表示范围，所以这样的数不能够直接做乘法运算。

参考了很多资料，包括维基百科词条Multiplication algorithm，才知道目前大数乘法算法主要有以下几种思路：

1. 模拟小学乘法：最简单的乘法竖式手算的累加型；
2. 分治乘法：最简单的是Karatsuba乘法，一般化以后有Toom-Cook乘法；
3. 快速傅里叶变换FFT：（为了避免精度问题，可以改用快速数论变换FNTT），时间复杂度O(N lgN lglgN)。具体可参照Schönhage–Strassen algorithm；
4. 中国剩余定理：把每个数分解到一些互素的模上，然后每个同余方程对应乘起来就行；
5. Furer’s algorithm：在渐进意义上FNTT还快的算法。不过好像不太实用，本文就不作介绍了。大家可以参考维基百科Fürer’s algorithm

解法

我们分别实现一下以上算法，既然不能直接使用乘法做运算，最简单最容易想到的办法就是模拟乘法运算。

1、模拟乘法手算累加

      7 8 9 6 5 2
×         3 2 1 1
-----------------
      7 8 9 6 5 2   <---- 第1趟 
    7 8 9 6 5 2     <---- 第2趟 
   ..........       <---- 第n趟 
-----------------
  ? ? ? ? ? ? ? ?   <---- 最后的值用另一个数组表示 

如上所示，乘法运算可以分拆为两步：

• 第一步，是将乘数与被乘数逐位相乘；
• 第二步，将逐位相乘得到的结果，对应相加起来。

这有点类似小学数学中，计算乘法时通常采用的“竖式运算”。用C++简单实现了这个算法，代码如下：

vector bigNumerMultiply(vector vec1, vector vec2)
{
    vector result;//中间求和的结果，并逆序保存

    
    for(int i=vec2.size()-1; i>-1; --i)
    {
        int carry = 0;
        vector single;
        for(int j=vec1.size()-1; j>-1; --j)
        {
            int r = vec2[i]*vec1[j] + carry;
            int digit = r % 10;
            carry = r / 10;
            single.push_back(digit);
        }
        if(carry != 0)
        {
            single.push_back(carry);
        }
        int resultCarry = 0;
        int count = 0;
        int k = 0;
        int m = 0;
        int offset = vec2.size() - 1 - i;//加法的偏移位
        vector middleResult;
        
        //vec2每位乘法的结果与上一轮的求和结果相加，从右向左做加法并进位
        while(k < single.size() || m < result.size())
        {
            int kv = 0;
            int mv = 0;
            if(k < single.size() && count >= offset)
            {
                kv = single[k++];
            }
            if(m < result.size())
            {
               mv = result[m++];
            }
            int sum = resultCarry + kv + mv;
            middleResult.push_back(sum % 10);
            resultCarry = sum / 10;
            ++count;
        }
        if(resultCarry != 0)
        {
            middleResult.push_back(resultCarry);
        }
        result.clear();
        result = middleResult;
    }
    
    //将结果逆序
    int len = result.size();
    for(int i = 0; i < len / 2; ++i)
    {
        swap(result[i],result[len-i-1]);
    }
    return result;
}

看了以上的代码，感觉思路虽然很简单，但是实现起来却很麻烦，那么我们有没有别的方法来实现这个程序呢？答案是有的，接下来我来介绍第二种方法。

2、模拟乘法累加 - 改进

简单来说，方法二就是先不算任何的进位，也就是说，将每一位相乘，相加的结果保存到同一个位置，到最后才计算进位。

例如：计算98×21,步骤如下

        9  8
×       2  1
-------------
       (9)(8)  <---- 第1趟: 98×1的每一位结果 
  (18)(16)     <---- 第2趟: 98×2的每一位结果 
-------------
  (18)(25)(8)  <---- 这里就是相对位的和，还没有累加进位 

这里唯一要注意的便是进位问题，我们可以先不考虑进位，当所有位对应相加，产生结果之后，再考虑。从右向左依次累加，如果该位的数字大于10，那么我们用取余运算，在该位上只保留取余后的个位数，而将十位数进位（通过模运算得到）累加到高位便可，循环直到累加完毕。

核心代码如下：

vector bigNumberMultiply2(vector vec1, vector vec2)
{
    vector result(vec1.size()+vec2.size());
    for(int i = 0; i < vec1.size(); ++i)
    {
        for(int j = 0; j < vec2.size(); ++j)
        {
            result[i+j+1] += vec1[i] * vec2[j];
        }
    }
    for(int k = result.size()-1; k>0; --k)
    {
        if(result[k] > 10)
        {
            result[k-1] += result[k] / 10;
            result[k] %= 10;
        }
    }
    /*
    例如10*10,result的第一位为0,数第一位为0没有意义,所以删掉
    */
    if(result[0] == 0)
    {
        vector::iterator ite1 = result.begin();
        result.erase(ite1);
    }
    return result;
}

！！注意：这里的进位有个大坑，因为result[]数组是从左到右记录相对位的和（还没有进位），而最后的进位是从右向左累加进位，这样的话，如果最高位，也就是最左侧那一位的累加结果需要进位的话，result[]数组就没有空间存放了。

而正好result[]数组的最后一位空置，不可能被占用，我们就响应地把num1的第i位与num2的第j位相乘，结果应该存放在结果的第i+j位上的这个结果往后顺移一位（放到第i+j+1位），最后从右向左累加时就多了一个空间。