数学基础 - 矩阵的基本运算（Matrix Operations）

矩阵的基本运算(Matrix Operations)

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目录

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三个初等行（列）变换

• 交换两行（列）的位置；
• 将常数 k(k≠0) k ( k ≠ 0 ) 乘以某行(列)向量；
• 将某行（列）的元素乘以 λ λ 倍加到另一个行（列）上。

经过初等变换后，矩阵变化，但线性系统没变化

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加法(Plus)

两个行数、列数分别相等的矩阵（同型矩阵），加法运算才有意义。

[1324]+[1234]=[2558] [ 1 2 3 4 ] + [ 1 3 2 4 ] = [ 2 5 5 8 ]

• 交换律： A+B=B+A A + B = B + A
• 结合律： (A+B)+C=A+(B+C) ( A + B ) + C = A + ( B + C )

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乘法(Multiply)

与数的乘法

将数与矩阵中的每一个元素分别相乘所得的矩阵。

[12−163−5]×4=[48−42412−20] [ 1 − 1 3 2 6 − 5 ] × 4 = [ 4 − 4 12 8 24 − 20 ]

• 结合律： (ab)A=a(bA)(a+b)A=aA+bA ( a b ) A = a ( b A ) ( a + b ) A = a A + b A
• 分配律： a(A+B)=aA+aB a ( A + B ) = a A + a B

与矩阵的乘法

[142536]×⎡⎣⎢10815523⎤⎦⎥=[711701848] [ 1 2 3 4 5 6 ] × [ 10 5 8 2 15 3 ] = [ 71 18 170 48 ]

设矩阵 A=(aij)m×s,B=(bij)s×n, A = ( a i j ) m × s , B = ( b i j ) s × n , 则A与B的乘积C：

C=(cij)m×n C = ( c i j ) m × n

• 行数与左矩阵A相同，列数与右矩阵B相同。
• C的第i行第j列的元素
  
  cij=∑k=1saikbkj(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n;) c i j = ∑ k = 1 s a i k b k j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n ; )
• 不满足交换律

哈达马乘积（Hadamard product）

约束与加法相同，只是对应元素运算变为乘法。记作 ∘ ∘ 或 ∗ ∗ 或 ⊙ ⊙ 。

注意不要混淆，与一些计算机语言中的星号不同，这里星号（ ∗ ∗ ）不是指乘法（ × × ）。为了避免混淆，一般使用 ∘ ∘ 或 ⊙ ⊙ 。

[1324]∘[1234]=[16616] [ 1 2 3 4 ] ∘ [ 1 3 2 4 ] = [ 1 6 6 16 ]

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转置(Transpose)

记作 AT A T 或 A′ A ′

A=[1502107−11]A′=AT=⎡⎣⎢⎢⎢1010−15271⎤⎦⎥⎥⎥ A = [ 1 0 10 − 1 5 2 7 1 ] A ′ = A T = [ 1 5 0 2 10 7 − 1 1 ]

• (AT)T=A ( A T ) T = A
• (A+B)T=AT+BT ( A + B ) T = A T + B T
• (AB)T=BTAT ( A B ) T = B T A T
• (aA)T=aAT,a是常数 ( a A ) T = a A T , a是常数

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方阵的行列式(Determinant)

记作 det(A) d e t ( A ) 或 |A| | A |

• 只有方阵才能定义行列式
• 对角阵与三角阵的行列式 |In|=1 | I n | = 1
• |kAn|=kn|An| | k A n | = k n | A n |
• AB与BA不一定相等，但是 |AB|=|BA|=|A||B| | A B | = | B A | = | A | | B | 可能成立

克莱默法则(Cramer)

对线性方程组，如果有系数行列式 D≠0 D ≠ 0 ，则方程组有唯一解

x1=D1D,⋯,xj=DjD,⋯,xn=DnD x 1 = D 1 D , ⋯ , x j = D j D , ⋯ , x n = D n D

其中 Dj D j 是把系数行列式 D D 中的第j列的元素用方程组右边系数替换后的n阶行列式

雅可比行列式(Jacobi)

当n元变量做线性变换时，行列式就是其微元倍数，即 dx=|A|dt d x = | A | d t

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逆(Inverse)

设A为n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得

AB=BA=In A B = B A = I n

则称A为可逆矩阵，B为A的逆阵，记作 B=A−1 B = A − 1

• (A−1)−1=A ( A − 1 ) − 1 = A
• (kA)−1=1kA−1(k≠0) ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 ( k ≠ 0 )
• A、B均是同阶可逆矩阵，则(AB)−1=B−1A−1 A、B均是同阶可逆矩阵，则 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1
• (A−1)T=(AT)−1 ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1

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秩(Rank)

• 秩的算法：仅用初等行（列）变化把矩阵A化为阶梯矩阵，阶梯矩阵中不为0向量的行（列）数为矩阵A的秩。记作 R(A) R ( A )
• 阶梯矩阵：从上往下数，每一行从左到右第一个不为0的元素所在列严格递增。
• 行秩=列秩

A=⎡⎣⎢⎢⎢33212−206031−4565−10−1−34⎤⎦⎥⎥⎥r1↔r4−→−−−−⎡⎣⎢⎢⎢13236−202−4310−16554−1−30⎤⎦⎥⎥⎥ A = [ 3 2 0 5 0 3 − 2 3 6 − 1 2 0 1 5 − 3 1 6 − 4 − 1 4 ] r 1 ↔ r 4 → [ 1 6 − 4 − 1 4 3 − 2 3 6 − 1 2 0 1 5 − 3 3 2 0 5 0 ]

r2−3r1r3−2r1r4−3r1−→−−−−⎡⎣⎢⎢⎢10006−20−12−16−415912−19784−13−11−12⎤⎦⎥⎥⎥r4÷(−4)r2↔r4−→−−−−−⎡⎣⎢⎢⎢100064−12−20−4−3915−1−27943−11−13⎤⎦⎥⎥⎥ r 2 − 3 r 1 r 3 − 2 r 1 r 4 − 3 r 1 → [ 1 6 − 4 − 1 4 0 − 20 15 9 − 13 0 − 12 9 7 − 11 0 − 16 12 8 − 12 ] r 4 ÷ ( − 4 ) r 2 ↔ r 4 → [ 1 6 − 4 − 1 4 0 4 − 3 − 2 3 0 − 12 9 7 − 11 0 − 20 15 9 − 13 ]

r3+3r2r4+5r2−→−−−−⎡⎣⎢⎢⎢10006400−4−300−1−21−143−22⎤⎦⎥⎥⎥r4+r3−→−−−⎡⎣⎢⎢⎢10006400−4−300−1−21043−20⎤⎦⎥⎥⎥ r 3 + 3 r 2 r 4 + 5 r 2 → [ 1 6 − 4 − 1 4 0 4 − 3 − 2 3 0 0 0 1 − 2 0 0 0 − 1 2 ] r 4 + r 3 → [ 1 6 − 4 − 1 4 0 4 − 3 − 2 3 0 0 0 1 − 2 0 0 0 0 0 ]

由于A的阶梯矩阵的前三行是非零向量，所以 R(A)=3 R ( A ) = 3

• 零矩阵的秩是0
• 如果 Am×n A m × n ，则 0≤R(A)≤min{m,n} 0 ≤ R ( A ) ≤ m i n { m , n }
• R(AB)≤min{R(A),R(B)} R ( A B ) ≤ m i n { R ( A ) , R ( B ) }
• 如果A可逆，那么 R(B)=R(AB) R ( B ) = R ( A B )
• 如果A是n阶方阵， R(A)=n⟺|A|≠0⟺A可逆 R ( A ) = n ⟺ | A | ≠ 0 ⟺ A 可逆
• 如果A是n阶方阵， R(A)<n⟺|A|=0⟺A不可逆 R ( A ) < n ⟺ | A | = 0 ⟺ A 不可逆

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迹(Trace)

方阵A的对角线之和称为迹，记作 tr(A) t r ( A ) ，即

tr(A)=∑i=1naii t r ( A ) = ∑ i = 1 n a i i

• tr(A)=∑ni=1λi t r ( A ) = ∑ i = 1 n λ i ，即 tr(A)=其特征值之和 t r ( A ) = 其特征值之和
• tr(AB)=tr(BA) t r ( A B ) = t r ( B A )

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