数学基础 - 线性空间（Vector Space）

线性空间(Vector Space)

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定义(Definition)

设V是一个非空集合，P是一个域：

• 加法： ∀α,β∈V ∀ α , β ∈ V ，总有唯一元素 γ∈V γ ∈ V 与之对应，称为 α α 与 β β 的和，记作 γ=α+β γ = α + β 。
• 纯量乘法（数量乘法）： ∀k∈P ∀ k ∈ P ， ∀α∈V ∀ α ∈ V ，总有唯一元素 δ∈V δ ∈ V 与之对应，称为 k k 与 α α 的积，记作 δ=kα δ = k α 。
• 加法与纯量乘法满足下列条件（设 α,β,γ∈Vandk,l∈P α , β , γ ∈ V a n d k , l ∈ P ）：
  
  • α+β=β+α α + β = β + α
  • (α+β)+γ=α+(β+γ) ( α + β ) + γ = α + ( β + γ )
  • ∃零元素0∈V,∀α∈V⟹α+0=α ∃ 零元素 0 ∈ V , ∀ α ∈ V ⟹ α + 0 = α
  • ∀α∈V,∃β∈V,α+β=0 ∀ α ∈ V , ∃ β ∈ V , α + β = 0 ，则称 β β 为 α α 的负元素，记作 −α − α
  • 对P中单位元1，有 1α=α 1 α = α
  • (kl)α=k(lα) ( k l ) α = k ( l α )
  • (k+l)α=kα+lα ( k + l ) α = k α + l α
  • k(α+β)=kα+kβ k ( α + β ) = k α + k β

则称V为域P上的一个向量空间（线性空间）。加法与纯量乘法称为线性运算。

本质： ∀(α,β∈V),∀(k,l∈P) ∀ ( α , β ∈ V ) , ∀ ( k , l ∈ P ) ，都有 kα+lβ∈V k α + l β ∈ V

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线性相关/无关(Linear Dependence/Independence)

如果V是一个线性空间，如果存在不全为零的系数 c1,c2,⋯,cn∈F c 1 , c 2 , ⋯ , c n ∈ F ，使得 c1v1+c2v2+⋯+cnvn=0 c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n = 0 ，那么其中有限多个向量 v1,v2,⋯,vn v 1 , v 2 , ⋯ , v n 称为线性相关的。

反之，称这组向量线性无关的。更一般的，如果有无穷多个向量，我们称这无穷多个向量是线性无关的，如果其中任意有限多个都是线性无关的。

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基与维数(Basis and Dimension)

在线性空间V中，如果存在n个元素 α1,α2,⋯,αn α 1 , α 2 , ⋯ , α n ，满足：

• α1,α2,⋯,αn α 1 , α 2 , ⋯ , α n 线性无关
• ∀α∈V ∀ α ∈ V ，都可由 α1,α2,⋯,αn α 1 , α 2 , ⋯ , α n 线性表示

那么， α1,α2,⋯,αn α 1 , α 2 , ⋯ , α n 称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数，空间V称为由基 {α1,α2,⋯,αn} { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } 张成的线性空间，记作 V=span{α1,α2,⋯,αn} V = s p a n { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } 。

性质： V={x|x=c1α1+c2α2+⋯+cnαn,ci∈R,i=1,2,⋯,n} V = { x | x = c 1 α 1 + c 2 α 2 + ⋯ + c n α n , c i ∈ R , i = 1 , 2 , ⋯ , n }

坐标：若V是一个线性空间， {α1,α2,⋯,αn} { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } 是线性空间V的一组基，对于 α∈V α ∈ V ，如果有 α=x1α1+x2α2+⋯+xnαn α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n ，那么其标识系数所构成的n为实向量 (x1,x2,⋯,xn) ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) 称为 α α 在基 {α1,α2,⋯,αn} { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } 下的坐标。所以，线性空间的元素称为向量。

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范数(Norm)

在线性空间V中定义一种运算 ||.||:V→R | | . | | : V → R ， ∀α,β∈V,c∈R ∀ α , β ∈ V , c ∈ R 满足：

• 正定性： ||α||≥0,若||α||=0⟺α=0(零向量) | | α | | ≥ 0 , 若 | | α | | = 0 ⟺ α = 0 (零向量)
• 正齐次性： ||cα||=|c|||α|| | | c α | | = | c | | | α | |
• 次可加性（三角不等式）： ||α+β||≤||α||+||β|| | | α + β | | ≤ | | α | | + | | β | |

则称 ||.|| | | . | | 为线性空间V的一个范数（模），这样的V称为赋范矢量空间(Normed Vector Spaces)。在赋范矢量空间中的元素 α,β∈V α , β ∈ V ，定义 ||α−β|| | | α − β | | 为 α,β α , β 之间的距离。

矩阵Frobenius范数

||A||F=∑i,ja2i,j−−−−−−√ | | A | | F = ∑ i , j a i , j 2