线性代数 1.方程组的矩阵表示和几何解释

1.方程组的矩阵表示和几何解释

方程组：
$$\begin{gathered} 2x-y=0 \\ -x+2y=3 \end{gathered}$$
该方程我们可以用矩阵乘积表示：
$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
通常我们记为:
$$Ax=b$$
行向量的表示很容易理解，就是每一个方程本身，所有行向量构成了方程组。我们可以试着画出每个方程的图像，从而查看交点：

很明显我们可以看出交点为(1,2)，因此这也正是方程的解，这就是行向量的几何解释。

我们试着理解列向量，该方程可以用列向量的方式表示：
$$x\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
在这里就可以认为实际上是两个向量(2,-1),(-1,2)经过怎样的线性组合可以成为向量(0,3)，可以在图中将这三个向量的都画出来。然后运用平行四边形法则猜测我们应当如何取x,y。

故向量图可以认为是列向量的几何解释。

延申：

三元一次方程：
$$\begin{gathered} 2x-y=0 \\ -x+2y-z=-1 \\ -3y+4z=4 \end{gathered}$$
我们用矩阵乘积的形式表示该方程组：类似于Ax=b的形式
$$\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right]$$
同样我们可以用列向量的方式表示该方程：
$$x\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right]$$
该问题几何解释实际上可以表示为如下形式：

行向量解释：三个行向量代表三个方程，每个方程是三维平面的一个平面，最终解为三者的交集

列向量解释：三个向量的线性组合最终共同组合为(0,-1,4)向量，解即为三个变量的线性组合取值

思考：

是否对于任意的 A, b，方程总是有解？
$$Ax=b$$
也就是对于任意的A,b ，行向量的几何图象是否总是有交集，列向量的组合能否表出空间中所有的向量？

答案是不能够保证总是有解，如果列向量无论如何表出都不能表示出空间中所有的向量，则称A为奇异阵或不可逆矩阵，因此如何A是奇异阵，不能够保证对于任意b有解。但是如果每一个列向量都线性无关，则它们的组合可以表示出整个空间，因此此时对于任意的b，均是有解的。