卡方检验思想及其应用

卡方检验是以χ²分布为基础的一种常用假设检验方法，它的无效假设H₀是：观察频数与期望频数没有差别。

  该检验的基本思想是：首先假设H₀成立，基于此前提计算出χ²值，它表示观察值与理论值之间的偏离程度。根据χ²分布及自由度可以确定在H₀假设成立的情况下获得当前统计量及更极端情况的概率P。如果当前统计量大于P值，说明观察值与理论值偏离程度太大，应当拒绝无效假设，表示比较资料之间有显著差异；否则就不能拒绝无效假设，尚不能认为样本所代表的实际情况和理论假设有差别。

卡方检验的主要应用：

(1)检验某个连续变量的分布是否与某种理论分布相一致。如是否符合正态分布、是否服从均匀分布等

①提出原假设H0：变量符合F(x)分布(针对连续型变量)，若针对离散型变量，则要假设其分布律

②将样本划分区间k个，每个区间样本数不小于5，区间互不相交，获得每个区间的实际频数fi

③根据假设分布的分布函数，求出每个区间的理论概率pi，得到理论频数npi（n为样本总数）

④计算卡方统计量 

⑤计算自由度，即区间数减1，假设显著性α=0.05，得到x2(k-1)α临界值，如果卡方统计量大于临界值，说明理论与实际偏差过大，拒绝原假设

(2)检验某个分类变量各类的出现概率是否等于指定概率。如在36选7的彩票抽奖中，每个数字出现的概率是否各为1／36；掷硬币时，正反两面出现的概率是否均为0．5。

①提出原假设H0：假设该各类变量符合出现概率

②根据原假设得出理论频数，即对各分类变量其对应概率为pi，则理论频数为npi（n为样本总数）

③根据已有实际观测值fi，计算卡方统计量即 

④计算自由度，为分类变量数目减去一，与再显著性α=0.05下的临界值比较，若大于临界值，则认为偏差过大，拒绝原假设

(3)检验某两个分类变量是否相互独立。如吸烟(二分类变量：是、否)是否与呼吸道疾病(二分类变量：是、否)有关；产品原料种类(多分类变量)是否与产品合格(二分类变量)有关。该问题针对列联表。

①提出原假设H0：两个分类变量之间无关

②再假设无关的条件下，应用其独立同分布特点，计算出每个格子的理论概率值，比如吸烟并且没有呼吸道疾病的概率值，利用样本数据，分别求出吸烟的概率和患呼吸道疾病的概率，两者相乘得到联合概率，再乘以样本总调查数，就得到了理论数，这里有一个前提很重要，就是我们假设了分类变量之间独立，再能将其概率相乘。

③根据样本，得到实际观测值，计算出卡方统计量

④列联表自由度为（列数-1）（行数-1），再与显著性α=0.05下的临界值比较，若大于，则拒绝原假设，认为有关

(4)检验控制某种或某几种分类因素的作用以后，另两个分类变量是否相互独立。如在上例中，控制性别、年龄因素影响以后，吸烟是否和呼吸道疾病有关；控制产品加工工艺的影响后，产品原料类别是否与产品合格有关。

(5)检验某两种方法的结果是否一致。如采用两种诊断方法对同一批人进行诊断，其诊断结果是否一致；采用两种方法对客户进行价值类别预测，预测结果是否一致。

第四和第五种方法同上，关键都在于求出理论频数，这是构造卡方统计量的关键。