机器学习：感知机

感知机是二分类的线性分类模型，其输入是样本的特征向量，输出是样本的类别。感知机对应于输入空间中将样本划分为两个类别，属于判别模型。感知机学习旨在求出将训练数据进行线性划分的分离超平面，为此，导入基于误分类的损失函数，利用梯度下降法对损失函数进行极小化，求得感知机模型。
1、感知机模型
假设输入空间是$X\subseteq {\mathbb{R}}^n$，输出空间是$Y=\left\{+1,-1\right\}$。输入$x\in X$表示样本的特征向量，对应于输入空间的点，输出$y\in Y$表示样本的类别。由输入空间到输出空间的函数如下：

称为感知机，其中权值$\omega$和偏置b是感知机模型的参数。
感知机是一种线性分类模型，属于判别模型，感知机的假设空间定义在特征空间中所有线性分类模型。
2、多层感知机及其BP算法
Deep Learning 近年来在各个领域都取得了 state-of-the-art 的效果，对于原始未加工且单独不可解释的特征尤为有效，传统的方法依赖手工选取特征，而 神经网络可以进行学习，通过层次结构学习到更利于任务的特征。得益于近年来互联网充足的数据，计算机硬件的发展以及大规模并行化的普及。本文主要简单介绍 MLP ，也即为Full-connection Neural Network ，网络结构如下，分为输入，隐层与输出层，除了输入层外，其余的每层激活函数均采用 sigmod ，MLP 容易受到局部极小值与梯度弥散的困扰，如下图所示：

MLP 的 BP 算法基于经典的链式求导法则，首先看前向传导，对于输入层有 $I$ 个单元， 对于输入样本 (x,z) ，隐层的输入为：


这里函数f为 非线性激活函数，常见的有sigmod 或者是 tanh，本文选取 sigmod 作为激活函数。计算完输入层向第一个隐层的传导后，剩下的隐层计算方式类似，用$h_l$ 表示第$l$层的单元数：


对于输出层，若采用二分类即 logistic regression ，则前向传导到输出层：


这里 y 即为 MLP 的输出类别为 1 的概率，输出类别为 0 的概率为 1−y，为了训练网络，当 z=1 时，y 越大越好，而当 z=0 时， 1−y越大越好 ，这样才能得到最优的参数 w ，采用 MLE 的方法，写到一起可以得到$y^z(1-y{)}^{1-z}$ ,这便是单个样本的似然函数，对于所有样本可以列出 log 似然函数 $O={\sum }_{x,z}zlogy+(1-z)log(1-y)$ ，直接极大化该似然函数即可，等价于极小化以下的 −log 损失函数：

对于多分类问题，即输出层采用softmax，假设有K个类别，则输出层的第k个单元计算过程如下:


则得到类别 k 的概率可以写为$$ ，注意标签z中只有第k维为 1，其余为 0，所以现在只需极大化该似然函数即可:

同理等价于极小化以下损失：

以上便是softmax的损失函数，这里需要注意的是以上优化目标O均没带正则项，而且 logistic 与 softmax 最后得到的损失函数均可以称作交叉熵损失，注意和平方损失的区别。
反向传播过程
有了以上前向传导的过程，接下来看误差的反向传递，对于sigmod来说，最后一层的计算如下：$\alpha ={\sum }_h{\omega }_h\cdot b_h,y=f(\alpha )=\sigma (\alpha )$这里 $b_h$ 为倒数第二层单元h的输出，σ为sigmod激活函数，且满足 σ′(a)=σ(a)(1−σ(a))，对于单个样本的损失 ：

可得到如下的链式求导过程：

显而易见对于后半部分$\frac{\partial \alpha }{\partial {\omega }_h}$为$b_h$，对于前半部分$\frac{\partial O}{\partial \alpha }$：

以上，便得到了logistic的残差，接下来残差反向传递即可，残差传递形式同softmax，所以先推导softmax的残差项，对于单个样本，softmax的log损失函数为：

其中：

根据以上分析，可得到$y_{k^{{}^{\prime }}}$关于${\alpha }_k$的导数：

现在能得到损失函数O对于${\alpha }_k$的导数：

这里有${\sum }_i{z}_i=1$，即只有一个类别，到这一步，softmax和sigmod的残差均计算完成，可用$\sigma$来表示，对于单元j，其形式如下：

这里可以得到softmax层向倒数第二层的残差反向传递公式：

其中$a_k={\sum }_h{w}_{hk}{b}_h$ ，对于sigmod层，向倒数第二层的反向传递公式为：

以上公式的 δ 代表sigmod层唯一的残差，接下来就是残差从隐层向前传递的传递过程，一直传递到首个隐藏层即第二层（注意，残差不会传到输入层，因为不需要，对输入层到第二层的参数求导，其只依赖于第二层的残差，因为第二层是这些参数的放射函数）：

整个过程可以看下图：

最终得到关于权值的计算公式：

至此完成了backwark pass 的过程，注意由于计算比较复杂，有必要进行梯度验证。对函数O关于参数${\omega }_{ij}$ 进行数值求导即可，求导之后与与上边的公式验证差异，小于给定的阈值即认为我们的运算是正确的。

# 多层感知机
from sklearn.datasets import make_moons
from sklearn.neural_network import MLPClassifier
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成数据
x, y = make_moons(n_samples=800, noise=0.15, random_state=42)

# 多层感知机模型
mlp = MLPClassifier(hidden_layer_sizes=(100, 100)).fit(x, y)

# 可视化分类边界
x_min, x_max = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1

xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.02), np.arange(y_min, y_max, 0.02))
z = mlp.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

zz = z.reshape(xx.shape)

plt.contourf(xx, yy, zz)
plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=y)
plt.show()