SVM支持向量机-拉格朗日乘子与对偶问题（1）

对于支持向量机，我们首先要关注的几个点就是间隔，超平面，支持向量，再深入的话就是对偶问题，拉格朗日对偶问题，凸优化，和 KKT条件，我们先从基本的间隔，超平面，支持向量说起。

 

 

1.SVM基础模型

给定训练集D={(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)},yi∈{-1,1}，例如下面图中的点，蓝线左上方的6个点对应1类，右下方的6个点对应-1类，基于数据分类的思想，如果我们想把两类数据分开，显然蓝线不是唯一的选择，我们有无数条直线可以选择将两类数据点分开，这些划分数据的直线我们统称为划分超平面，但是这么多划分超平面，我们的目标是要寻找最优的划分超平面。

直观上看，我们应该找两类样本间最“正”的划分超平面，就像图中蓝线所示，因为该超平面对训练样本的局部扰动“抗干扰性”最好，也就是说，这个划分超平面所产生的分类效果是最好的，对未见的例子的泛化能力也最强。

                           

在样本空间中，超平面可以通过线性方程来描述：

                                                                        

其中w=(w1,w2,w3...,wd)为法向量，决定了超平面的方向，b为位移项（截距项），决定了超平面与原点之间的距离，显然，划分超平面可被法向量w和位移b决定，下面将该平面记为（w,b），则样本中任意x到超平面（w,b）的距离为：

                                                                       

假设超平面能将样本正确分类，即对于（xi,yi）∈ D，若yi=+1，则,

                                                                                 若yi=-1，则.

这里我们令：

                                                                                             （式1.1）   

即距离超平面正向距离大于1判定为1类别，距离超平面负向距离大于1的判定为-1类别。如上图所示，标记红圈的四个点使等式成立，他们也被称为“支撑向量”（support vector），两个异类支持向量到超平面的距离之和:

                                                                        

称为“间隔”.

 

支持向量机的目标就是找到具有“最大间隔”的划分超平面，也就是要找满足（式1.1）中的w和b，使得距离γ最大，即：

                                                               

                                                       s.t.   

为了最大化间隔，仅需最大化,等价于最小化，所以上式可改写为：

                                                              

                                                      s.t.                           （式1.2）

这就是SVM最基础的模型。

 

 

2.拉格朗日乘子法与对偶问题

我们希望求解式（式1.2）得到最大间隔划分超平面对应的模型：

                                                                            

其中w，b是模型参数，这里我们使用拉格朗日乘子法得到其对偶问题，从而高效的求出结果，下面就看一下什么是拉格朗日乘子法和对偶问题。

1）lagrange乘子法

拉格朗日乘子法是一种寻找多元函数在一组约束下的极值的方法，通过引入拉格朗日乘子，可将有d个变量与k个约束条件的优化问题转换为具有d+k个变量的无约束优化问题。

考虑一个优化问题，假设x为d维，欲寻找x的某个取值，是目标函数f(x）最小且满足g(x)=0的约束，从几何角度看，该问题的目标是在由方程g(x)=0，确定的d-1维曲面上(因为g(x)=0的约束，在d-1个数据确定后，可以通过函数得到最后一个数据，所以是d-1维，类似于概率统计里的自由度)寻找使目标函数f(x)最小化的点，此时不难得出结论：

                                ·对于约束曲面上的任意点x，该点的梯度正交于约束曲面

                                ·对于最优点，目标函数在该点的梯度正交于约束曲面

由此可知，在最优点，梯度，的方向必相同或相反，即存在λ≠0使得：

                                                                                           （式2.1）

λ称为拉格朗日乘子，定义拉格朗日函数：

                                                                                             （式2.2）    

对（式2.2）函数求导即得到（式2.1），于是原约束问题可转化为对拉格朗日函数L(x,λ)的无约束问题。

 

2)KKT条件

拉格朗日乘子法的几何意义即在等式g(x)=0或在不等式约束g(x)≤0下最小化目标函数f(x),红色曲线表示g(x)=0构成的曲面，阴影部分的紫色即为g(x)＜0的部分.

情况1 g(x)＜0 ：

g(x)＜0时，对f(x)求极值相当于闭区间求极值，最值点即为极值点，令λ=0，直接对f求梯度即可得到极值。

情况2 g(x) = 0 ：

g(x) = 0时，说明极值点在边界取到，即g(x)＜0内的点值都大于边界，梯度的定义是向函数值增加最快的方向，所以f的梯度与g的梯度相反，从而存在常数λ＞0，使得：

                                                            

综合情况1和情况2，我们得到KKT条件：

                                                                    

通俗意义理解KKT条件的话就是目标函数在约束条件下取得极值的充要条件，也就是目标函数在约束条件下取得极值时对应的x，λ必须满足KKT条件，反之亦然。

 

3）多约束问题推广

将上述做法推广到m个等式约束和n个不等式约束，且可行域非空的优化问题。

                                                                        

                                            s.t.                 

引入拉格朗日乘子λ=(λ1，λ2,...,λm).T , u=(u1,u2,...,un).T, 相应的拉格让日函数为：

                                                    

由不等式约束引入KKT条件(j=1,2,...,n)：

                                                                            

一个优化问题可以从两个角度考察，即主问题和对偶问题，对于优化问题而言，常通过将拉格朗日乘子L(x,λ,u)求导并令为0，来获得对偶函数的表达形式。下面就看一下支持向量机如何通过拉格朗日乘子法转化为对偶问题，从而求解最优超平面。

 

 

3.支持向量机的对偶问题解决

先看一下支持向量机的目标函数与约束函数：

 

                                                                    

                                                            s.t.           

对每条约束添加拉格朗日乘子αi≥0，则该问题的拉格朗日函数可写为：

                                                           

其中α=(α1,α2,...,αm)，令L(w,b,α)对w和b求偏导为0可得（此处涉及到矩阵求导）：

                                                                 

                                                                 

将上式带入拉格让日函数中w和b消去：

                                                  

                                                                   

                                                                   

                                                                    

从而得到对偶问题：

                                                                 

                                                         s.t    .

                                                                  

解出α后，通过

                                                                   

 

即可得到w，b的求解通过任一支持向量即可求出，因为在支持向量处，满足,现在我们已经求出w，xi，yi也已知，所以也可以顺利求出b，这样参数w，b全部求出，我们的最优超平面也就被w和b所限定。根据 上文多约束推广的KKT条件，推出支持向量机优化问题的KKT条件：

 

                                                                       

 

4.对偶问题与KKT条件推导

拉格朗日成乘数法主要解决约束优化问题，通过引入拉格朗日乘子，将n个变量，k个约束的问题转化为n+k个变量的无约束问题

基本形态：

z = f(x,y) 在满足 g(x,y)=0 的条件下，可转化为F(x,y,λ) = f(x,y) + g φ(x,y)

KKT：

KKT条件即在满足一定规则下，一个非线性规划问题能有最优解的必要和充分条。上面通过图像上的梯度直观了解了KKT条件，下面通过对偶问题的推导得到KKT的条件：

                                                                      

                                                                       其中 

proof：

由已知条件可得

                                                                

所以去掉一个小于等于0的项目可得(☆)

                                                                      

两边同时加min可得(☆☆)

                                                   

接下来计算对偶问题，这里将L(x,u)展开可得

                                                 

                                                                                  

先计算后面一项

                                                           

∴ 对min ug(x) 取max时最大只能取到0 此时 u=0 或 g(x)=0(☆☆☆)

                                                         

∴ 对偶问题的后一项即为0 可以省略，又有： 

                                                            

这里因为f(x) 为关于x的函数，所以与u无关，所以可以省略掉max符号，可得：

                                      

结合(☆☆)处的公式可得：

                                                

即：

                                  

∴ 我们称max min L(x,u) 为 min max L(x,u)的对偶问题，这表明在一定条件下(KKT条件)，原问题与对偶问题与min f(x)的解相同，且在最优解x*处，u=0 或者 g(x)=0，这里可以结合上文中图片解释，会有更好的理解。

将x*带入(☆)式：

                                                                     

又：

                                                                 

可得：

                                                                

即：

                                                                             

∴ x*也是拉格朗日问题 L(x,u) 的极值点，这也说明引入拉格朗日乘子的可行性。

 

                                         

 

总结：

通俗来讲，对偶问题就是使求解更加高效且目标函数值不变，通过先消去w，b，得到关于α的函数，然后单独计算 α，通过得到的α反求w，b，最后获得超平面的参数，相比于先对α的不等式约束进行计算，对偶的方式使得计算更加便捷。另外KKT条件就是在约束下求得目标函数极值时αi满足的条件，只有满足了kkt条件，才算是满足了目标函数和约束函数，因此之后介绍的计算迭代算法也是基于KKT条件，通过不断修改不满足KKT条件的α，使其满足KKT条件，从而求出目标函数的最优值。下篇文章将主要推导一种计算w和b的高效算法-SMO算法，看看实际中如何通过对偶问题公式推出α，从而由α推出w和b.本文主要参考西瓜书，有问题欢迎大家交流~