COCI 2013/2014 Contest#2 E

Description:

有$n$个点，$K$种颜色，现在有$n$个条件，形如第$i$个点不能与第$f_i$个点同色。求染色方案数。对1e9+7取模
$n,K\le 10^6$

Solution:

• 比较常规的题目。
• 在$n$个条件下，图中只包含树和基环树组合成的森林。
• 分类讨论。
• 对于单纯的树，显然除了根有$K$种颜色选择，接下来的儿子都被它的父亲影响，其它点都是$K-1$种颜色选择。
• 对于基环树，常规的抽出环，染色问题嘛，那么就破环为链。
• 考虑$dp[i][0/1]$表示前$i$个点相邻不同，最后一个点与第1个点相同/不相同的方案数。
• 转移就有$dp[i][0]=(K-2)\times dp[i-1][0]+(K-1)\times dpp[i-1][1],dp[i][1]=dp[i-1][0]$
• 环上的每个点的子树与上述单纯的树同理。

Code:

#include
using namespace std;
#define REP(i,f,t) for(int i=(f),i##_end_=(t);i<=i##_end_;++i)
#define SREP(i,f,t) for(int i=(f),i##_end_=(t);i=i##_end_;--i)
#define ll long long
templateinline bool chkmin(T&x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
templateinline bool chkmax(T&x,T y){return xinline void rd(T&x){
	x=0;char c;
	while((c=getchar())<48);
	do x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	while((c=getchar())>47);
}
const int N=1e6+2,mod=1e9+7;

int n,K;

int qwq,head[N];
struct edge{
	int to,nxt;
}E[N<<1];
void addedge(int x,int y){E[qwq]=(edge){y,head[x]};head[x]=qwq++;}
#define EREP(x) for(int i=head[x];~i;i=E[i].nxt)

struct p30{
	int col[502];
	int ans;
	
	bool flag;
	void dfs(int x){
		if(x==n+1){
			++ans;
			return;
		}
		REP(j,1,K){
			flag=1;
			EREP(x) if(j==col[E[i].to]) {flag=0;break;}
			if(!flag)continue;
			col[x]=j;
			dfs(x+1);
			col[x]=0;
		}
	}
	
	void solve(){
		dfs(1);
		printf("%d\n",ans);
	}
}p1;

int cnt;
bool mark[N];
ll Pow(ll a,ll b){
	ll x=1;
	while(b){
		if(b&1)x=x*a%mod;
		a=a*a%mod,b>>=1;
	}
	return x;
}

struct p100{
	
	int dfn[N],low[N],tim;
	int stk[N],top;
	int sz[N],tot;
	bool vis[N];
	int num;
	
	void tarjan(int x){
		dfn[x]=low[x]=++tim;
		stk[++top]=x;
		vis[x]=1;
		EREP(x){
			int y=E[i].to;
			if(!dfn[y]){
				tarjan(y);
				chkmin(low[x],low[y]);
			}
			else if(vis[y]) chkmin(low[x],dfn[y]);
		}
		if(dfn[x]==low[x]){
			if(stk[top]!=x){
				tot++;
				do{
					num++;
					sz[tot]++;
					vis[stk[top]]=0;
				}while(x!=stk[top--]);
			}
			else top--;
		}
	}
	
	ll dp[N][2];
	
	void Init(){
		dp[1][1]=1;
		SREP(i,2,N){
			dp[i][0]=(dp[i-1][0]*(K-2)%mod+dp[i-1][1]*(K-1)%mod)%mod;
			dp[i][1]=dp[i-1][0];
		}
	}
	
	void solve(){
		REP(i,1,n) if(!mark[i] and !dfn[i]) tarjan(i);
		Init();
		ll ans=1;
		ans=Pow(K,cnt)*Pow(K-1,n-cnt-num)%mod;
		REP(i,1,tot) ans=ans*dp[sz[i]][0]%mod*K%mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}p2;

int main(){
//	freopen("draw.in","r",stdin);
//	freopen("draw.out","w",stdout);
	rd(n),rd(K);
	memset(head,-1,sizeof head);
	REP(i,1,n){
		int f;rd(f);
		if(i!=f) addedge(i,f);
		else mark[i]=1,cnt++;
	}
	
//	if(n<=15 and K<=3)p1.solve();
//	else 
	p2.solve();
	return 0;
}

Summary:

• 对于染色问题，$dp$是最好的解决方式。
• 可以进行画图，计算公式来推导转移。