神经网络三：浅析神经网络backpropagation算法中的代价函数

在博客神经网络一：介绍，示例，代码中，Backpropagation Algorithm中用到了代价函数：该代价函数是否是最好的?其有没有自身的局限性?还有其他的代价函数吗，有何特点？本文将针对这些问题进行分析。具体的分析是借鉴麦子学院的相关课程中的内容。

1 代价函数(二次cost) 

假设有一个神经网络模型：

该模型很简单，只有一个输入，一个神经元，一个输出。假设输入值x=1, 真实输出值y=0。初始w=0.6,b=0.9,学习率为0.15，使用的f函数为 sigmoid函数： 。我们最终的目标是求得预测值a接近0或等于0。将相关参数值带入，求得第一次正向的最后的预测值输出为a=0.82。接下来就要进行反向传播算法，代价函数和循环迭代次数（epoch）的函数关系如下图：

从图可以看到，一开始迭代的时候代价函数就下降很快。当迭代次数为100的时候代价函数基本上就开始收敛，迭代到300的时候最后的输出为0.09，已经很接近目标值0了。此时的权重w=-1.28，偏向值b=-0.98。

上面的过程都建立在初始值得基础上得到的，重新改变初始值：w=2.0,b=2.0,学习率还是0.15，此时第一次正向的输出值为：0.98再z进行 Backpropagation Algorithm的迭代，如下图;

当迭代到300次时，输出为0.20，也可以认为接近0，当该图在迭代次数为160左右的时候才开始下降，开始学习。对比于上面的情况，可以看出模型开始下降很快的迭代次数是不一样的，即学习情况是不一样的。为什么后一种情况“学习慢”这是为什么呢？

原因分析为：

由公式可以看出，学习慢（更新迭代慢）是因为的值很小造成的，值小和代价函数有关，分析使用的代价函数：

对于模型只有一个x,一个神经元，一个输出y时，代价函数可以改为：

J = （y-a）*（y-a）/2。其中的a=f(z),z=wx+b。

将J分别关于w和b 求偏导，并将x=1,y=0带入得：

所以都和f(z）的导数有关，即和f(z)有关，而,即sigmoid函数，下面分析sigmoid函数，如图为sigmoid函数的图形：

观察图形得到，当f(z)快接近1（或接近0）的时候，其变化很小，变化很小即f(z)导数很小，则的值就会小，更新就会很慢，即学习就会慢。直接从f(z)的导数也可以看出。

综上分析可知学习的快慢和代价函数是有关系的，只用代价函数为 未必一定是最好的，那么是否还有其他的代价函数来解决上述学习慢的情况呢？是否能解决学习慢，效率低的区问题呢？下面将进行分析。

2 代价函数cross-entropy 

(1)熵（entropy）

在信息论与概率统计中， 熵（entropy）是表示随机变量不确定性的度量，设X是一个取有限个值得随机变量，其概率分布为：

则随机变量X的熵定义为：

当X只取两个值：1,0时，

此时变化曲线为：

（2）cross-entropy 代价函数

假设有一个神经网络：

定义cross-entropy函数：

这里对比于熵中X只取1和0的二类概况下：log->ln,y和a与p有关。

为什么可以用该函数做cost函数？原因为：

1）函数值C大于等于0，由上图的H(p)变化曲线可以得知。

2）当a=y时，C->0.

下面关于对w做偏导（对b同理可得）：

这里定义函数σ(z) = ,即sigmoid函数，对σ(z)求导，得

将导数带入C对w的偏导中，分母可以消掉，为：

所以最终的学习快慢取决于：σ(z)-y。即当我们的错误率比较大，即σ(z)-y比较大的时候，更新多，学习快；相反，错误小的时候，学习慢，趋于收敛，这正是神经网络中代价函数所需要的。对于偏向值b同理可得。

下面是代价函数为： 时。第二种情况下，代价函数为cross-entropy函数时的变化曲线：

相比于第一种代价函数，cross-entropy函数显示出其优势。

3 总结

1）cross-entropy函数几乎总是比二次cost函数好；

2）如果神经元的方程式线性的（在上面分析中，两种都是非线性的情况），用二次函数不会有学习慢的问题，即用二次函数的效果是很好的。