对于Tarjan强连通分量算法的理解

对于Tarjan强连通分量算法的理解

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今天比较无聊开始复习图论，对于我这么一个不怎么爱写板子的蒟蒻来说，终于打算回（yu）顾（xi）一下Tarjan的强连通算法

首先给出Tarjan算法的原理：

原理

Tarjan的算法主要基于DFS树，基本和求点双，边双什么的差不多。对于一棵DFS树，我们肯定是按照DFS序来遍历它的（因为它叫DFS树）。这时，我们记录一个叫做lowlink的数组，对于lowlonk[x]来说，它记录的是在这棵DFS树上编号为x的节点所能够达到的最早的节点。

什么叫最早的节点呢？这要用时间截来予以衡量。时间截就是记录访问到某一节点x的时间（或者说x是DFS序中的第几个），在这个算法中我们记录刚刚访问到它的时间，用一个数组pre[]来予以记录，但不记录离开它的时间（这两种的区别在于刚刚访问到的时候我们还没访问它的后继节点，即还未进行下一步DFS，而离开它时，我们已经访问完了这个节点的后继节点们。这两种时间我们常常用于树链剖分以及其中的维护子树信息的操作，更多内容可以参阅树链剖分的相关资料）。

然后，我们每次用x的后继节点以及DFS树上的反向边所指向的节点（反向边，即非树边，原图中存在但由于DFS序的原因未出现于DFS树上的边）的lowlink来更新x的lowlink，在这里我们应该使用min()函数，因为lowlink越小表示访问的时间越早。

最后，我们只要考虑这样的节点x，它满足pre[x]==lowlink[x]，这说明它最早到达的节点是它自己，那么它与它的后继们就在同一个强连通分量中（其实这里表示并不严密，是指x节点的特定的后继，如果它的某些后继已经被确定属于某个强连通分量了，那么这个后继就不算）。这样我们就求出了所有的强连通分量。算法中还有很多的细节，下文将予以说明

先贴上本人丑陋的代码（代码中low==lowlink）：

Tarjan算法模板

vector<int> geo[maxn];
stack<int> scc;
bool vis[maxn];
int sccno[maxn],low[maxn],pre[maxn];
int time=0,cnt=0;
int Tarjan(int x){
    pre[x]=low[x]=++time;
    scc.push(x);
    vis[x]=true;
    for(int i=0;iint op=geo[x][i];
        if(!vis[op]){
            low[x]=min(low[x],Tarjan(op));
        }else if(!sccno[op]){
            low[x]=min(low[x],pre[op]);
        }
    }
    if(low[x]==pre[x]){
        int op=scc.top();
        scc.pop();
        ++cnt;
        while(op!=x){
            sccno[op]=cnt;
            op=scc.top();
            scc.pop();
        }
        sccno[x]=cnt;
    }
    return low[x];
}

细节

忍不住吐个槽，markdown的有序列表功能真是烂到不行

• 我们要在访问到一个新节点的时候立刻初始化它的lowlink值为pre值，同时立刻将这个点压入栈中，并记录已经访问（在这上面被坑的应该不计其数）

• 判断时，我们要使用pre值来进行与lowlink值的比较，而不能使用time这是因为time已经游走各地发生了巨大改变，早已不是原来的他了

• 在上述代码第15行我们使用了反向边另一端节点的pre值来更新，那么我们为什么不使用它的lowlink值呢？其实都可以，反正返回到那个节点的时候该求出来的都已经求出来了，但是pre值它更加稳定，它一直都是那个值

• 另外我们为什么要判断反向边的另一端的节点是否已经被标号了呢（代码第14行）？这是因为如果它被标号了，那说明那个节点不和当前的这个节点在同一个正在研究的子树中（相对于DFS树来说），那个分支在之前就已经被DFS到了。哪为什么它没标号就是可以的呢？这是因为属于别的分支中的点，如果已经被研究到，那么一定就已经被标上号了，哪怕SCC中只有它一个点

总结

代码不长，理解起来并不困难，虽然也不是经常使用（相对于DP，数学什么的来说），但是会了总比不会强

例题

由于我可能会写其他的文章，所以这里先留坑待补，以后链上链接。其实这些题也都不难。。。要不先列举几个

间谍网络

题目描述

由于外国间谍的大量渗入，国家安全正处于高度的危机之中。如果A间谍手中掌握着关于B间谍的犯罪证据，则称A可以揭发B。有些间谍收受贿赂，只要给他们一定数量的美元，他们就愿意交出手中掌握的全部情报。所以，如果我们能够收买一些间谍的话，我们就可能控制间谍网中的每一分子。因为一旦我们逮捕了一个间谍，他手中掌握的情报都将归我们所有，这样就有可能逮捕新的间谍，掌握新的情报。

我们的反间谍机关提供了一份资料，色括所有已知的受贿的间谍，以及他们愿意收受的具体数额。同时我们还知道哪些间谍手中具体掌握了哪些间谍的资料。假设总共有n个间谍(n不超过3000)，每个间谍分别用1到3000的整数来标识。

请根据这份资料，判断我们是否有可能控制全部的间谍，如果可以，求出我们所需要支付的最少资金。否则，输出不能被控制的一个间谍。

输入输出格式

输入格式：

第一行只有一个整数n。

第二行是整数p。表示愿意被收买的人数，1≤p≤n。

接下来的p行，每行有两个整数，第一个数是一个愿意被收买的间谍的编号，第二个数表示他将会被收买的数额。这个数额不超过20000。

紧跟着一行只有一个整数r，1≤r≤8000。然后r行，每行两个正整数，表示数对(A, B)，A间谍掌握B间谍的证据。

输出格式：

如果可以控制所有间谍，第一行输出YES，并在第二行输出所需要支付的贿金最小值。否则输出NO，并在第二行输出不能控制的间谍中，编号最小的间谍编号。

输入输出样例

输入样例

【样例1】
3
2
1 10
2 100
2
1 3
2 3
【样例2】
4
2
1 100
4 200
2
1 2
3 4

输出样例：

【样例1】
YES
110
【样例2】
NO
3

这是一道洛谷的题。。。

[HAOI2006]受欢迎的牛

题目描述

每头奶牛都梦想成为牛棚里的明星。被所有奶牛喜欢的奶牛就是一头明星奶牛。所有奶

牛都是自恋狂，每头奶牛总是喜欢自己的。奶牛之间的“喜欢”是可以传递的——如果A喜

欢B，B喜欢C，那么A也喜欢C。牛栏里共有N 头奶牛，给定一些奶牛之间的爱慕关系，请你

算出有多少头奶牛可以当明星。

输入格式：

第一行：两个用空格分开的整数：N和M

第二行到第M + 1行：每行两个用空格分开的整数：A和B，表示A喜欢B

输出格式：

第一行：单独一个整数，表示明星奶牛的数量

输入输出样例

输入样例#1：

3 3
1 2
2 1
2 3

输出样例#1：

1

说明

只有 3 号奶牛可以做明星

数据范围

10%的数据N<=20, M<=50

30%的数据N<=1000,M<=20000

70%的数据N<=5000,M<=50000

100%的数据N<=10000,M<=50000

这是一道洛谷上的题。。。