图示Softmax及交叉熵损失函数

Softmax函数

Softmax是将神经网络得到的多个值，进行归一化处理，使得到的值在之间，让结果变得可解释。即可以将结果看作是概率，某个类别概率越大，将样本归为该类别的可能性也就越高。Softmax就如下图（借鉴李宏毅老师的课件）

SoftMax

为了更加清晰的看清整个过程，我将其制作成gif，如下图所示：

Softmax的工作过程

交叉熵：

假设和是关于样本集的两个分布，其中是样本集的真实分布，是样本集的估计分布，那么按照真是分布来衡量识别一个样本所需要编码长度的期望（即，平均编码长度）：

如果用估计分布来表示真实分布的平均编码长度，应为：

这是因为用来编码的样本来自于真是分布，所以期望值中的概率是。而就是交叉熵。

注:不了解什么是编码的请看这里：如何理解用信息熵来表示最短的平均编码长度。

在神经网络后面添加Softmax，真实的标签（或者是类别）就相当于真实的分布，经过Softmax得出的值就是预测的结果，因此可以使用交叉熵函数来作为损失函数。有了交叉熵的概念，我们就可以得出，Softmax的损失函数：

                                                                                   

其中是神经元的输出也可以作为预测结果，是第i个类别的真实值，只能取值。在Softmax中我们取以为底的对数，因为都是的指数形式，可以方便计算。在反向传播的过程中，如何对交叉熵损失函数求导呢？可以先看下图的示例，显示了如何得到损失函数：

由上图可以看到，损失函数具体形式是什么。为了计算反向传播，我们从最后一层开始，也就是首先要对Softmax的输入求导，得：

                                                             ，其中

由于每个的分母中都有的贡献，故我们要考虑每一个输出值。则：

                                                            

对于，需要分开讨论因为和时的求导结果不同，故需分开讨论。则

                                   

• 当时，有：

                                                        

• 当时

                                                       

故，

                                                                       

注：因为如果给定一个样本那么他对应的真实标签只有一个值为，其余为0，故，

                                                                               

Sotfmax的交叉熵损失函数，还有另外的形式：

•                                                                  
•                                                                

其本质是一样的，因为是示性函数，只有当大括号内的值为真时才取值为1，否则为0，即。