编译原理之证明LL(1)文法

LL(1)文法的证明方法

一个文法G是LL(1)的，当且仅当G的任意两个不同的产生式A -> α | β 满足下面的条件：
1. 不存在终结符号a使得α 和 β 都能够推导出以a开头的串。
2. α 和 β中最多只有一个可以推导出空串。
3. 如果 β =>* ε，那么α不能推导出任何以FOLLOW(A)中某个终结符号开头的串。类似的，如果 α =>* ε，那么β不能推导出任何以FOLLOW(A)中某个终结符号开头的串。

前面两个条件等价说FIRST(α) 和FIRST(β)是不相交的集合。第三个条件等价于说如果ε在FIRST(β)中，那么FIRST(α)和FOLLOW(A)是不相交的集合，并且当ε在FIRST(α)中时类似结论成立。

举个小栗子

文法G[E]:
1. E -> TE’
2. E’-> +E| ε
3. T -> FT’
4. T’-> T| ε
5. F -> PF’
6. F’ -> *F’| ε
7. P -> (E) | a | b | ∩
证明该文法是LL(1)文法

(1) FIRST集合(这里只求非终结符号的FIRST集合)

FIRST(E) = { ( , a , b , ∩ }
FIRST(T) = { ( , a , b , ∩ }
FIRST(F) = { ( , a , b , ∩ };
FIRST(P) = { ( , a , b , ∩ };
FIRST(E’) = { + , ε };
FIRST(T’) = { ( , a , b , ∩ , ε };
FIRST(F’) = { * , ε };

(2) FOLLOW集合

FOLLOW(E) = FOLLOW(E’) + { ) ，$}
FOLLOW(E’) = FOLLOW(E) = { ) ，\$ }
FOLLOW(T) = FIRST(E’) / ε +FOLLOW(T’) = { + , ) , \$ }
FOLLOW(T’) = FOLLOW(T) = { + , ) , \$ }
FOLLOW(F) = FIRST(T’) / ε +FOLLOW(T) = { ( , a , b , ∩ , + , ) ,\$ }
FOLLOW(F’) = FOLLOW(F) = { ( , a , b , ∩ , + , ) ,\$ }
FOLLOW(P) = FIRST(F’) / ε + FOLLOW(F) = {* , ( , a , b , ∩ , + , ), \$ }

注：关于FIRST集合和FOLLOW集合的计算，请参照这篇博客
编译原理之计算FIRST集合和FOLLOW集合

(3) 证明是LL(1)文法
对于E’-> +E’| ε ，( FIRST(+E’) = { + } ) ∩ ( FIRST( ε ) = { ε } )= ∅
对于T’-> T| ε ，( FIRST(T) = { ( , a , b , ∩ } ) ∩ ( FIRST( ε ) = { ε } )= ∅
对于F’ -> *F’| ε ，( FIRST(*F’) = { * } ) ∩ ( FIRST( ε ) = { ε } )= ∅
对于P -> (E) | a | b | ∩ ，( FIRST( (E) ) = { ( } ) ∩ ( FIRST( a ) = { a } ) ∩ ( FIRST( b ) = { b } ) ∩ ( FIRST( ∩ ) = { ∩ } )= ∅

对于E’-> +E| ε , (FIRST(+E) = { + }) ∩ (FOLLOW(E’) = { ) ，$ }) = ∅
对于T’-> T| ε , (FIRST(T) =( , a , b , ∩) ∩ (FOLLOW(T’) = {+ , ) , $ }) = ∅
对于F’ -> *F’| ε , (FIRST(*F’) = { * }) ∩ (FOLLOW(F’) = { ( , a , b , ∩ , + , ) ,$ }) = ∅

得证，该文法是LL(1)文法。

小练习

下面哪些文法是LL(1)的，并说明理由
(1) 文法：
1. S -> Abc
2. A -> a | ε
3. B -> b | ε

(2) 文法：
1. S -> ABBA
2. A -> a | ε
3. B -> b | ε

(1)该文法不含有左递归
FIRST集合

FIRST(S) = {a , b , ε }
FIRST(A) = {a , ε }
FIRST(B) = {b , ε }

FOLLOW集合

FOLLOW(S) = { $ }
FOLLOW(A) = {b}
FOLLOW(B) = { }

对于A -> a | ε ，FIRST(a) ∩ FIRST( ε ) = ∅
对于B -> b | ε ，FIRST(b) ∩ FIRST( ε ) = ∅
FIRST(a) ∩ FOLLOW(A) = ∅
FIRST(b) ∩ FOLLOW(B) = ∅

符合LL(1)文法的要求，是LL(1)文法。

(2)该文法不含有左递归
1. S -> ABBA
2. A -> a | ε
3. B -> b | ε
FIRST集合

FIRST(S) = {a , b , ε }
FIRST(A) = {a , ε }
FIRST(B) = {b , ε }

FOLLOW集合

FOLLOW(S) = { $ }
FOLLOW(A) = {a , b , $}
FOLLOW(B) = {a , b , $ }

因为 A -> a | ε ，FIRST(a) ∩ FOLLOW(A) ≠ ∅
因为 B -> b | ε，FIRST(b) ∩ FOLLOW(B) ≠ ∅

不符合LL(1)文法的要求，不是LL(1)文法