(原创)Hanoi塔问题的递归方法与非递归方法（java实现)

本文讨论了Hanoi塔问题的递归方法与非递归方法，给出了java实现的代码，并比较了它们的效率。

法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

文章中我们假设汉诺塔个数为正整数n，三个盘子为A,B,C,其中C是中介盘，我们要遵守移动规则将A上的盘子要全部通过C移动到B。

1.递归方法

如果汉诺塔上盘子个数n=1时显然直接将A上的盘子移动到B即可，当n=2时，方法也很简单,只要将第一块盘子先从A移动到C,再将第二块盘子从A移动到B,再将第一块盘子从C移动到A。实际上，表达的时候不必要强调第几块盘子，而只需要像从A移动到B这样描述,也能清楚的知道意思(因为总是只能移动每个汉诺塔最顶上的盘子)。那么n=2时解决办法的表示就是:A->C,A->B,C->B。下面我们都采用这种简洁明了的表示。
要知道如何将n块盘子从A通过C移动到B，我们可以先将上面的n-1块盘子从A通过B移动到C，再将最大的盘子从A移动到B,这时再将上面的n-1块盘子从C通过A移动到B。这就是递归算法解决Hanoi塔问题的思路。代码如下：

/**
     * 将A汉诺塔上的n个盘子通过C移动到B的递归方法
     * @param n   //汉诺塔上盘子的个数
     * @param A   //开始时有盘子的汉诺塔
     * @param B   //要将盘子移动到上面的目标汉诺塔
     * @param C   //中介汉诺塔
     * @throws IllegalArgumentException when n<=0
     */
    public static void HanoiTowers1(int n,char A,char B,char C){
        if(n<=0){
            throw new IllegalArgumentException("n must be >=1");
        }
        if(n==1){
            System.out.println(A+"->"+B);
        }
        else{
            HanoiTowers1(n-1,A,C,B);     // 将除去最大的盘子的n个盘子从A通过B移动到C
            System.out.println(A+"->"+B);//将最大的盘子从A移动到B
            HanoiTowers1(n-1,C,B,A);     //将除去最大的盘子的n-1个盘子从C通过A移动到B
        }
    }//HanoiTowers1(int n,char A,char B,char C)

    public static void HanoiTowers1(int n){
        HanoiTowers1(n,'A','B','C');
    }//HanoiTowers1(int n)

2.非递归方法

要使用非递归方法，我们必须找到Hanoi塔移动方法的规律。根据递归方法的思想，我们可以求出移动Hanoi塔所需的步骤数为2^n-1。设移动n块盘子需要Hanoi(n)步,则Hanoi(n)=2*Hanoi(n-1)+1,而Hanoi(1)=1,容易求出Hanoi(n)=2^n-1.
我们先来讨论第m步移动的盘子是第几块(盘子按从小到大顺序排序)。首先，容易知道当m=2^(i-1)时，这时一定移动的是第i块盘子。因为要移动A塔上的第i块盘子时，一定得是前面i-1块盘子已经按顺序在另一块盘子上堆好了，而堆好i-1块盘子根据上面所说需要2^(i-1)-1个步骤,故第2^(i-1)第一次移动第i块盘子。而不管要移动的盘子是多少块，将前面盘子摆放好的方法是一样的(这里说的一样是把B和C看作一样的盘子时的一样,不区分中介盘，只考虑移动盘子的次序)比如说n=3和n=4时，前面三步将前两块盘子摆放好的方式是一样的，n=3时前面三步:A->B(第一块盘子),A->C(第二块盘子),B->C(第一块盘子)。n=4时前面三步:A->C(第一块盘子),A->B(第二块盘子),C->B(第一块盘子)。这里可以看出不考虑B,C盘的区别，移动的盘子是一样的。根据这个我们可以将m二进制展开为m=a[i]2^i+…+a[0]*2^0,其中a[i]=0或1，有了这个二进制展开，我们可以知道i从0开始数第一个使a[i]不等于0的i，第i+1块盘子就是第m步要移动的盘子。再一次强调得到这个结论的根据就是移动第N块盘子之前得先让前N-1块盘子保持顺序，而要让N-1块盘子保持顺序得花2^(N-1)-1步。当然这并不是严格的数学证明，但是得到这个结论之后用数学归纳法并不难给出一个完整的证明。我们这里略去严格的证明，只说明结论是:*m用二进制表示的最低位bit为1的位置为p，则第m步移动的是第p块盘子。
上面的讨论我们没有区分B盘和C盘，现在我们要来讨论具体的移动方法了，先来看几个例子：
n=2(括号里代表移动的是第几块盘子):
(1)A->C
(2)A->B
(1)C->B
n=3:
(1)A->B
(2)A->C
(1)B->C
(3)A->B
(1)C->A
(2)C->B
(1)A->B

n=4:
(1)A->C
(2)A->B
(1)C->B
(3)A->C
(1)B->A
(2)B->C
(1)A->C
(4)A->B
(1)C->B
(2)C->A
(1)B->A
(3)C->B
(1)A->C
(2)A->B
(1)C->B
我们来看看(1)的移动情况：n=2时：A->C->B,n=3时：A->B->C->A->B,n=4时：A->C->B->A->C->B。可以发现移动方式其实可以总结为两种1.A->C->B，2.A->B->C接下来就是不停的循环这种移动方式直到停止，可以看到(1)在n为偶数的时候移动方式是A->C->B，在n为奇数时移动方式是A->B->C，如果我们观察(3)会发现移动规律和(1)一样,而(2)正好与它们相反。
这并不是偶然,我们可以总结出规律第奇数块盘子在n为奇数时移动方式为A->B->C，在n为偶数时移动方式为A->C->B，而偶数相反。同样我们这里不会给出严格的数学证明，因为根据前面关于第m步会移动哪一块盘子的讨论当中其实我们就可以发现这个规律，当然我们也可以从之前得讨论之中得到一个严格的数学证明，但我们这里在意的仅仅是结果。更何况，我们可以用实践来检验一下我们的方法。
根据以上讨论的两点结论，我们可以给出非递归算法实现的代码:

/**
     * 将A汉诺塔上的n个盘子通过C移动到B的非递归方法
     * @param n 汉诺塔上盘子个数
     * @throws IllegalArgumentException when n<=0
     */
    public static void HanoiTowers2(int n){
        if(n<=0){
            throw new IllegalArgumentException("n must be >=1");
        }
        char[] hanoiPlate=new char[n];   //记录n个盘子所在的汉诺塔(hanoiPlate[1]='A'意味着第二个盘子现在在A上)
        char[][] next=new char [2][3];   //盘子下次会移动到的盘子的可能性分类
        int index[]=new int[n];

        //根据奇偶性将盘子分为两类
        for(int i=0;i2){
            index[i]=0;
        }
        for(int i=1;i2){
            index[i]=1;
        }

        //一开始所有盘子都在A上
        for(int i=0;i'A';
        }

        //n的奇偶性对移动方式的影响
        if(n%2==0){
            next[0][0]='C';
            next[0][1]='A';
            next[0][2]='B';
            next[1][0]='B';
            next[1][1]='C';
            next[1][2]='A';
        }
        else
        {
            next[1][0]='C';
            next[1][1]='A';
            next[1][2]='B';
            next[0][0]='B';
            next[0][1]='C';
            next[0][2]='A';
        }

        //开始移动
        for(int i=1;i<(1<//总共要执行2^n-1(1<
            int m=0;                                //m代表第m块盘子hanoiPlate[m]

            //根据步骤数i来判断移动哪块盘子以及如何移动
            for(int j=i;j>0;j=j/2){
                if(j%2!=0){
                    System.out.println("("+(m+1)+")"+hanoiPlate[m]+"->"+next[index[m]][hanoiPlate[m]-'A']);
                    hanoiPlate[m]=next[index[m]][hanoiPlate[m]-'A'];
                    break;                           //移动盘子后则退出这层循环
                }
                m++;
            }
        }
    }

3.比较

计算的步骤数都是非递归算法要更多，这是因为非递归算法有两个for循环的嵌套，递归算法占用内存更多，我们直接通过实验来对比它们在运算时间上的差异。
实验结果:

n=10时: 递归方法耗时: 0 非递归方法耗时: 0
n=15时: 递归方法耗时: 0 非递归方法耗时: 0
n=20时: 递归方法耗时: 4 非递归方法耗时: 26
n=25时: 递归方法耗时: 154 非递归方法耗时: 861
n=30时: 递归方法耗时: 5059 非递归方法耗时: 29695

通过结果我们可以看到递归算法的时间效率远高于非递归算法。非递归算法耗用了太多时间在for循环，我们可以试着改进一下非递归算法。
将非递归算法中的for循环模块修改为：

for(int i=1;i<(1<//总共要执行2^n-1(1<
            int m=0;                                //m代表第m块盘子hanoiPlate[m]
            int j=i;

            while((j<<31)>>31==0&&j>0){
                j=j>>1;
                m++;
            }
    }

再次进行对比实验，结果如下：
n=10时: 递归方法耗时: 0 非递归方法耗时: 0
n=15时: 递归方法耗时: 0 非递归方法耗时: 0
n=20时: 递归方法耗时: 4 非递归方法耗时: 8
n=25时: 递归方法耗时: 156 非递归方法耗时: 267
n=30时: 递归方法耗时: 5408 非递归方法耗时: 8596

相比修改之前速度快了不少，但是仍然比递归算法要慢。

4.总结

虽然根据比较的结果，我们可以发现递归算法可能略优于非递归算法，不过非递归算法在回答Hanoi塔问题第m步做什么的时候会比递归算法快，因为非递归算法可以直接求第m步要移动哪一块，从哪里移动到哪里(上文没有给出解释，见附注),而递归算法要一步步模拟到最后才能知道结果，很可能由于n过大，而无法的到结果。

附注：
设m=2^k[1]+2^k[2]+2^k[3]+2^k[s ] , 这里k[s]>k[s-1]>…>k[1]。
那么第m步要移动的就是第k[1]+1块盘子,我们知道k[1]+1块盘子的移动规律，它的移动周期是3，且是送A开始移动的，我们只要知道它是第几次被移动就可以了。它是第2^[(k[2]+k[3]+…+k[s])-(s-1)(k[1]+1)]+1次。可以通过证明第2^i次移动，第i+1块盘子移动1次。第2^(i+p)次，第i+1块盘子移动2^(p-1)次，其中p>=1来得出上面的结论。