两个有限点集中最短距离的计算

昨天被一位老师提问了这个问题，一时没有回答上来，后经过一番查找资料，在这里做一下笔记。

问题描述

设有两个有限点集$u_{i}\in V_{1} (1\leq i\leq m)$和$v_{j}\in V_{2} (1\leq j\leq n)$，则两点集中最短距离定义为$d_{min}(V_{1}, V_{2})$=$min$ $d_{u_{i}, v_{j}}$。

问题解法1：穷举求解

直接容易想到的解法，即计算出两点集所有点之间的距离，并寻找最小的那个。伪代码如下：

Algorithm 1: Brute Force Approach

Input: The node set $V_{1}$ and $V_{2}$ Output: The $d_{min}(V_{1}, V_{2})$ 1. for $i$ =1 to $m$ 2.     for $j$ =1 to $n$ 3.         Compute the distance between $u_{i}$ and $v_{j}$ 4.     end for 5. end for 6. Determine the minimum distance computed along line 1 to line 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

易知该算法复杂度为O$(mn)$。这显然不是一个令老师满意的结果，于是考虑一个非穷举的解法。

问题解法2：基于Gabriel图的非穷举解

经过查找资料，发现文献"Optimal Algorithms for Computing the Minimum Distance Between Two Finite Planar Sets"（其PDF的阅读顺序应为从最后一页向上阅读）对此类问题提出了求解方法。原文叙述较简略，本文在此做详细一些的解释。

先对两个点集的并集做Delaunay三角剖分，然后根据Delaunay三角图得到其对偶的Voronoi图；若Delaunay三角图的某条边与其对应的Voronoi图的边交叉，则将其置为Gabriel图的一条边，如此得到Gabriel图；寻找Gabriel图中所有两端点分别属于两不同点集的边，并计算该边的两端点的距离；所有符合条件的距离中最小的那个即为所求。伪代码如下：

Algorithm 2: Gabriel Graph based Approach

Input: The node set $V_{1}$ and $V_{2}$ Output: The $d_{min}(V_{1}, V_{2})$ 01. Compute the Delaunay triangulation $DT(V)$ of $V=V_{1}\cup V_{2}$ 02. Compute the Voronoi diagram $VD(V)$ of $V$ via the Delaunay triangulation 03. if an edge in the $DT(V)$ intersects its corresponding $VD(V)$ edge 04.     Put it into the Gabriel graph $GP(V)$ 05. end if 06. for each edge in the $GP(V)$ 07.     if its one node $n_{i}\in V_{1}$ and another node $n_{j}\in V_{2}$  08.         Compute the distance $d_{ij}$ between $n_{i}$ and $n_{j}$ 09.     end if 10. end for 11. Determine the minimum distance computed along line 6 to line 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

根据该文献，算法复杂度为O$(m+n)log(mn)$，可等价为O$(n)log(n)$，是一种更为高效的算法。当然在$m$和$n$较小时，穷举解法的表现更好。

参考

关于该解法所提到的若干概念，这里给出一些参考链接（不保证原链接所述内容的准确性），仅供参考。

• Delaunay三角剖分：可以参考“三角剖分算法(delaunay)”这篇博文；
• Voronoi图：可以参考“泰森多边形（Voronoi图）的matlab绘制”这篇博文；
• Gabriel图：可以参考“Gabriel 图 （gabriel gragh）”这篇博文。