机器学习经典损失函数比较

经典损失函数比较

1 平方误差损失函数

损失函数：

minJ(w)=1n∑i=1nH(yif(xi,w)),whereH(t)={t20t<0t≥0

分类实例：

优点：容易优化（一阶导数连续）

缺点：对outlier点很敏感（因为惩罚是指数增长的，左图的两个outlier将分类面强行拉到左边，得不到最优的分类面）

2 感知机损失函数（L1 margin cost）

损失函数：

minJ(w)=1n∑i=1nH(yif(xi,w)),whereH(t)={−t0t<0t≥0

在 t=0 处不连续，所以不可导，但是可以求 次梯度(导数)。

优点：稳定的分类面，次梯度可导

缺点：二阶不可导，有时候不存在唯一解

3 Logit损失函数（Logistic 回归）

损失函数：

minJ(w)=1n∑i=1nH(yif(xi,w)),whereH(t)=ln(1+exp(−t))

优点：稳定的分类面，严格凸，且二阶导数连续

4 Hinge损失函数（SVM）

minJ(w)=1n∑i=1nH(yif(xi,w)),whereH(t)={−t+10t<1t≥0

优点：稳定的分类面，凸函数。对分对的但又不是很对的样本也进行惩罚（0-1之间），可以极大化分类间隔。

【问题】为什么不能用回归的损失函数来处理分类的问题

例子：

上例中，红圈中的样本是被正确分类了，但是回归损失函数还是会惩罚它们，而按照分类的观点是不应该惩罚的。

分类 != 回归

特例：1998年LeCun LeNet5 和 2016年的YOLO用回归解决分类问题，是因为它们的特征特别强。

5 两种正则化方法

L1正则化假设了模型的先验概率分布服从拉普拉斯分布；L2正则化假设了模型的先验概率分布服从高斯分布。

【问题】什么样的损失函数是好的损失函数？

有明确的极大似然/后验概率解释，如果不满足，则满足以下几条：

minJ(w)=1n∑i=1nH(yif(xi,w))+Ω(w)

• H(t) 梯度需要有界，鲁棒性保障（反例：AdaBoost）
• 将L1作为H(t)的渐近线，稳定的分类边界（L1满足最小误分样本数）
• 大分类间隔，保障泛化性能
• 选择正确的正则化方式（一般默认L2）

Reference

1 次导数 次梯度 小结
http://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51896348

2 集智公开课 https://jizhi.im/course/dl_theory/6