chapter 1 信号与系统的基本概念 (reading notes)

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• 信号与系统系列笔记来源于邱天爽教授2018年秋季所授课程《信号处理与数据分析》¹；
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1 信号与系统的基本概念

• 连续时间信号；
• 离散时间信号：通过对连续信号采样得到，采样所得数值未经量化；
  因此离散信号的精度是无限的，即因变量有无穷多个取值；
  离散时间信号自变量连续（时间），因变量（values of sign）离散；
• 数字信号：因变量的数值经过量化，只能取有限多个数值；
• 数字信号自变量离散（时间），因变量（values of sign）也离散； ²
• difference（差分）：差分的结果反映离散量之间的变化，将原函数 $f(x)$ 映射到 $f(x+a)-f(x+b)$ ；
  $△f(x_k)=f(x_{k+1})+f(x_k)$ ，$△f(x_k)$ 称为 $f(x)$ 的一阶前向差分；
  差分对应离散信号，微分对应连续信号；³

1.1 notation

• 信号与系统的符号：
  • x(t)：连续信号；
  • x(n)：离散信号；
  • h(t)：连续系统；
  • h(n)：离散系统；

1.2 concept

• 频率：$f=\frac{1}{T}$，单位为HZ，即$s^{-1}$，在 1s 内周期性变化的次数；
  角频率：$\Omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$，单位 rad/s ，在1s 内弧度变化值；
• 正弦信号：$x(t)=Asin(\Omega t+\phi )$ ；
  • $A$：振幅；
  • $\Omega$：角频率；
  • $\phi$：初相；
• 信号的分类：
  • 确定性信号与随机信号：
    • 确定性信号：可用函数描述；
    • 随机信号；
  • 连续时间信号、离散时间信号与数字信号：
    • 连续时间信号：输入、输出均连续；
    • 离散时间信号：输入离散，输出连续；
    • 数字信号：输入、输出均离散；
  • 周期信号与非周期信号：
    • 连续时间周期信号判别式：$x(t)=x(t+mT),m=\pm 1,\pm 2,...$ ；
    • 离散时间周期信号判别式：$x(n)=x(n+mN),m=\pm 1,\pm 2,...$ ；
• 能量信号与功率信号：
  • 能量信号：能量为有限值，${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^{2}dt<\infty$ ；
  • 功率信号：功率为有限值，${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^{2}dt\to \infty$，且$\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}|x(t){|}^{2}dt<\infty$ ；
    • $|x(t)|$ 是指对 $x(t)$ 取模；
    • 一般而言，有界的有限时宽信号为能量信号；
    • 连续的正弦时间信号为功率信号；
    • 按照能量信号、功率信号的依据分类，不能包括所有类型的信号；
• 一维信号与多维信号：
  • 一维信号：e.g. curve ；
  • 多维信号：e.g. image ；
• 时限信号与频限信号：
  • 时限信号：信号仅在有限的时域内有非零值；
  • 频限信号：信号仅在有限的频域内有非零值；
• 因果信号与非因果信号：
  • 因果信号：物理可实现，当 t<0 时，x(t) = 0 ；
  • 非因果信号：物理不可实现；

2 卷积

2.1 卷积的物理意义

• 卷积：对离散时间LTI系统，$y[n]=x[n]\ast h[n]={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h[n-k]$；
• textbook 上的方案：先反褶再平移，把$x[k]$当作一个整体，一次算出一个时间点的响应值；
  知乎用户张俊博、吃玉米的粥⁴：将$x[k]$拆分，每次计算某一个k值对应的响应，再将各个响应值相加；
  两者本质相同，但解释问题的角度不同；

n. reference :

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1. 邱天爽, 郭莹. 信号处理与数据分析[M]. 北京: 清华大学出版社, 2015. ↩︎

2. https://zh.wikipedia.org/wiki/离散信号 ↩︎

3. https://baike.baidu.com/item/差分 ↩︎

4. https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/34267457 ↩︎