求解分治算法的递推关系

• 相关概念
  分治递推关系：如果 f(n) 表示求解规模为 n 的问题所需的云算数，则 f 满足递推关系
  
  f(n)=af(n/b)+g(n)
• 相关定理
  【定理1】设 f 是满足递推关系
  
  f(n)=af(n/b)+c
  
  的增函数，其中 n 被 b 整除, b≥1,b 是大于1的正整数， c 是一个正实数。那么
  
  f(n)={O(nlogab)a>1O(logn)a=1
  
  而且，当 n=bk (其中k是正整数)， a≠1 时
  
  f(n)=C1nlogab+C2
  
  其中 C1=f(1)+c/(a−1)，C2=−c/(a−1)

【定理2（主定理）】设 f 是满足递推关系

f(n)=af(n/b)+cnd

的增函数，其中 n=bk，k 是一个正整数， a≥1,b 是大于1的整数， c 和 d 是实数，满足 c 是正的且 b 是非负的。那么

f(n)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪O(nd)a<bdO(ndlogn)a=bdO(nlogab)a>bd

可见，主定理是定理1的一般性推广。