POJ-1201 Intervals（差分约束系统）

题意

从 0−50000 0 − 50000 中选出尽可能少的整数，使区间 [ai,bi] [ a i , b i ] 内都有至少 ci c i 个数被选出。
0≤ai≤bi≤50000 0 ≤ a i ≤ b i ≤ 50000
1≤ci≤bi−ai+1 1 ≤ c i ≤ b i − a i + 1

思路

重点介绍差分约束系统，一种把关于 n n 个未知数， m m 条形如 xj−xi≤A x j − x i ≤ A 或 xj−xi≥A x j − x i ≥ A 的不等式，转化为图上的最短路或最长路问题，加以解决的算法。
以此题为例，我们先将范围转化为 [1,50001] [ 1 , 50001 ] 。设 si s i 为 [1,i] [ 1 , i ] 中选的数的个数。那原式求的就是 (s50001−s0)max ( s 50001 − s 0 ) m a x 的最大值，所以我们需要利用不等式限制下界，则需建立若干条 xj−xi≥A x j − x i ≥ A 的不等式，并将其转化成 i i 到 j j 一条权值为 A A 的边。不等式中有“大大取大”的原则。那么我们不断的求 i i 到 j j 的最长路更新 A A 值。
接下来只用列出不等关系就行了，根据题意列出方程：
sai−sbi−1≥ci s a i − s b i − 1 ≥ c i
0≤si−si−1≤1 0 ≤ s i − s i − 1 ≤ 1
再化成 xj−xi≥A x j − x i ≥ A 的形式即可。

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define N 50003
typedef long long LL;
using namespace std;
template<const int maxn,const int maxm>struct Linked_list
{
    int head[maxn],to[maxm],nxt[maxm],cost[maxm],tot;
    void clear(){memset(head,-1,sizeof(head));tot=0;}
    void add(int u,int v,int w){to[++tot]=v,cost[tot]=w,nxt[tot]=head[u],head[u]=tot;}
    #define EOR(i,G,u) for(int i=G.head[u];~i;i=G.nxt[i])
};
Linked_list3*N>G;
int dis[N];bool vis[N];
void spfa(int s)
{
    memset(dis,0xc0,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int>q;
    while(!q.empty())q.pop();
    dis[s]=0;q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        EOR(i,G,u)
        {
            int v=G.to[i],w=G.cost[i];
            if(dis[v]if(!vis[v])q.push(v),vis[v]=1;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    G.clear();
    FOR(i,1,n)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        G.add(a,b+1,c);
    }
    FOR(i,0,N-3)G.add(i+1,i,-1),G.add(i,i+1,0);
    spfa(0);
    printf("%d\n",dis[N-2]);
    return 0;
}