字符串系列（一）——伟大的字符串Hash

在刷省选时，我们时常会遇到一些字符串的题目。也有许多的算法供我们选择，如：

KMP、拓展KMP、最小表示法、Manacher、Trie、后缀数组、后缀自动机、AC自动机（树上KMP）等等等，日后我会逐一填坑。今天先来介绍一个最暴力且用途最大的——字符串Hash。

首先，要想学好Hash，必须要明白一件事：两个元素若全等，其哈希值必定也相等；但哈希值相等，两个元素未必全等（哈希值相等是两个元素全等的必要不充分条件）。

看了这句话我想大家都明白，Hash时要尽量使冲突概率趋近于0，即，尽量的满足其充分性。下面介绍一种Hash方法。

先取一固定值P（prime的首字母，可以看出这个P取质数最好，而且一般用大质数），把字符串看作一个P进制的数。（我想这个并不难理解，因为16进制中也包含着一些字母）然后取出另一固定值M，求出该P进制数对M取余的结果，即为字符串哈希值。M我们一般取2的64次方，但实际操作时呢我们不需要对M取模（取模是个效率极低的运算）。我们用unsigned long long类型保存哈希值，让其自然溢出就好，因为此类型是不会出现负数的（无符号位）。P的话我参考了李煜东前辈的给出的值——131或13331，此时冲突概率极低。

如果你还是不放心，那可以同时做好多组P与M，判断时多判断几次，如果所有的哈希值都相等，再得出结论。

在处理子串问题时，我们一般采用前缀和去维护哈希值（当然，你可以使用树状数组啊，平衡树啊，去动态维护整个序列，比如bzoj1014，后续我会给出题解）。这里介绍一个前缀和的方法。首先按照进制法则预处理出每一个前缀的哈希值，代码如下：

for(int i = 1; i <= n; ++i) hash[i] = hash[i - 1] * P + str[i] - 'a';  

如果我们需要取出某段子串（str[l~r]）的哈希值，代码如下：

inline ull getsub(int l, int r) {return hash[r] - hash[l - 1] * bin[r - l + 1];}  

也就是：hash[l~r] = hash[1~r] - hash[l - 1] * pow(P, r - l + 1);

这个bin数组也是ull类型的，bin[i]表示P的i次方64位自然溢出的结果，也就是：

hash[l~r] = hash[1~r] - hash[1~l - 1] * pow(P, r - l + 1); 

为了效率，我们提前用O(n)的时间预处理了bin。我第一次做字符串Hash时（poj3974），自然是没有暴力算pow。我使用了快速幂【捂脸】，一个logn直接导致超时（可怕的logn）。

字符串Hash一般是伴随着二分出现的，就比如poj3974，我们要得到最大值，自然可以二分。

就写到这里了，后续我还会发一些字符串Hash的神奇应用的。（貌似这篇blog里挖了好多坑等我去填）