『区间状压DP』[Haoi2016]字符合并

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}$

有一个长度为 n 的 01 串，你可以每次将相邻的 k 个字符合并，得到一个新的字符并获得一定分数。得到的新字符和分数由这 k 个字符确定。你需要求出你能获得的最大分数。

1<=n<=300,0<=ci<=1,wi>=1,k<=8

$\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$

首先我们知道，对于一串数中它的最优解长度一定是小于等于k的。

由于观察到$k$的数据范围非常小，我们可以考虑用状态来完成。但是有长得像区间DP，我们可以考虑设置状态$f[i][j][k]$表示区间$[i,j]$最后经过合并后形成状态为$k$的最大代价。

我们可以考虑对于每一个$i$和$j$，枚举中间点$m$，使得$m$到$j$占意味，$i$到$m-1$占$k-1$位。

这样就能很容易得到转移方程：
$$\begin{gathered} f[i][j][s<<1]=\max (f[i][m-1][s]+f[m][j][0]) \\ f[i][j][s<<1|1]=\max (f[i][m-1][s]+f[m][j][1]) \end{gathered}$$
还有一种情况就是，当$r-l+1=k$时，我们需要直接进行合并。我们可以这样实现：

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$

#include 
#include 
#include 

#define int long long

using namespace std;
const int K = 8;
const int N = 305;

int n, k, INF;
int f[N][N][(1<<K)+9], a[N], c[(1<<K)+9], w[(1<<K)+9];

int read(void)
{
	int s = 0, w = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') w |= c == '-', c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') s = s*10+c-48, c = getchar();
	return w ? -s : s;
}

void DP(void)
{
	memset(f,-30,sizeof f);
	INF = f[0][0][0];
	for (int i=1;i<=n;++i) f[i][i][a[i]] = 0;
	for (int l=2;l<=n;++l)
	    for (int i=1;i+l-1<=n;++i) {
	    	int j = i + l - 1;
	    	int len = j - i;
	    	while (len >= k) len -= (k-1);
	    	for (int m=j;m>i;m-=k-1) 
	    	    for (int s=0;s<1<<len;++s) {
	    	        f[i][j][s<<1] = max(f[i][j][s<<1],f[i][m-1][s]+f[m][j][0]);
	    	        f[i][j][s<<1|1] = max(f[i][j][s<<1|1],f[i][m-1][s]+f[m][j][1]);
	    	    }
	    	if (len == k-1) 
	    	{
	    		int g[2]; g[0] = g[1] = INF;
	    		for (int s=0;s<1<<k;++s)
	    		    g[c[s]] = max(g[c[s]],f[i][j][s]+w[s]);
	    		f[i][j][0] = g[0], f[i][j][1] = g[1];
	    	}
	    }
	int ans = INF;
	for (int i=0;i<1<<k;++i)
		ans = max(ans,f[1][n][i]);
	cout<<ans<<endl;
}

signed main(void)
{
	n = read(), k = read();
	for (int i=1;i<=n;++i) 
		scanf("%1d", a+i);
	for (int i=0;i<1<<k;++i)
	    c[i] = read(), w[i] = read();
	DP();
	return 0;
}