【PyTorch学习笔记】8：激活函数,损失函数,使用PyTorch求导

激活函数

在PyTorch的老版本里这些激活函数在torch.nn.functional下，现在大多已经改到了torch下。

Sigmoid

数据将被映射到0到1之间。
$$f(x)=\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

import torch

a = torch.linspace(-100, 100, 10)
print(torch.sigmoid(a))

运行结果：

tensor([0.0000e+00, 1.6655e-34, 7.4564e-25, 3.3382e-15, 1.4945e-05, 9.9999e-01,
        1.0000e+00, 1.0000e+00, 1.0000e+00, 1.0000e+00])

Tanh

可以由Sigmoid变换得到，数据将被映射到-1到1之间。
$$\begin{gathered} f(x)=tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \\ =2Sigmoid(2x)-1 \end{gathered}$$

b = torch.linspace(-1, 1, 10)
print(torch.tanh(b))

运行结果：

tensor([-0.7616, -0.6514, -0.5047, -0.3215, -0.1107,  0.1107,  0.3215,  0.5047,
         0.6514,  0.7616])

ReLU

即Rectified Linear Unit，是现在DL用得最多的激活函数。ReLU在输入正信号时保证输出信号的导数是1，避免了当输入过大时引起（前面Sigmoid或者Tanh都会出现的）梯度弥散。
$$f(x)=\{\begin{array}{r}0forx<0\\ xforx\ge 0\end{array}$$

c = torch.linspace(-1, 1, 10)
print(torch.relu_(c))

运行结果：

tensor([0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.1111, 0.3333, 0.5556, 0.7778,
        1.0000])

Softmax

可以用于将多个输出转换成多个概率值，使每个值都符合概率的定义（在0到1），且概率相加和为1，非常适合多分类问题。Softmax往往用在最后对输出值y的处理上。它会将原来大的值相对缩放得更大，而原来很小的值压缩到比较密集的空间（这从指数函数图像就可以理解）。

$$f(y_i)=S(y_i)=\frac{e^{y_i}}{\sum _j{e}^{y_j}}$$

import torch
from torch.nn import functional as F

y = torch.rand(3, requires_grad=True)
print(y)
# 因为进行Softmax操作涉及到组内的其它结点的值,所以要特别注意dim的设置
p = F.softmax(y, dim=0)
print(p)

运行结果：

tensor([0.7440, 0.1704, 0.7994], requires_grad=True)
tensor([0.3816, 0.2150, 0.4034], grad_fn=)

---

注意，因为Softmax涉及其它结点的值的信息，每个结点$y_k$经Softmax得到结点$p_k$，计算导数时也要计算对其它结点的偏导（i不等于j的情况）：
$$\frac{\partial p_i}{\partial y_j}=\{\begin{array}{r}{p}_i(1-p_j),i=j\\ -p_i\cdot p_j,i̸=j\end{array}$$
这里也能看出，当$i=j$时得到的导数值为正，也就是$y_k$越大，自然得到的概率$p_k$也就应该越大；而当$i̸=j$时得到的导数值为负，因为$y_j$越大，肯定要让得到其它类别的概率$p_i$越小，这是符合对多分类的概率的直观感受的。

# 注意计算导数时,LOSS只能是一个值的,不能是有多个分量的
# 但是可以对多个东西去求偏导

# 计算p1对y0,y1,y2的导数
print(torch.autograd.grad(p[1], [y], retain_graph=True))
# 计算p2对y0,y1,y2的导数
print(torch.autograd.grad(p[2], [y]))

运行结果：

(tensor([-0.0821,  0.1688, -0.0867]),)
(tensor([-0.1539, -0.0867,  0.2407]),)

损失函数

这些LOSS都定义在torch.nn.functional下，可以直接使用。

Mean Squared Error

MSE即均方误差，常用在数值型输出上。
$$MSE=\sum (y-f_{\theta }(x_i){)}^2$$
其中$\theta$是网络的参数，取决于使用的网络结构，例如如果只是普通的线性感知器，那么：
$$f_{\theta }(x)=f(x;w,b)=wx+b$$
注意MSE和L2范数相比，L2范数是做了开平方操作的，所以如果要使用它来求MSE，最后只要.pow(2)平方一下就可以了。

import torch

# 实际值
y = 0.2
# 预测值:采样自N~(0,1)的10个值
pred = torch.randn(10)
# 计算MSE
mse = (pred - y).norm(2).pow(2)
print(mse)

运行结果：

tensor(10.1975)

在进行梯度下降时，将MSE对网络中要调整的参数$\theta$求导，有：
$$\frac{\nabla loss}{\nabla \theta }=-2\sum ((y-f_{\theta }(x_i))\cdot \frac{\nabla f_{\theta }(x_i)}{\nabla \theta })$$

Cross Entorpy Loss

交叉熵损失既可以用于二分类，也适用于多分类，并且往往和Softmax激活函数搭配使用。

关于PyTorch的交叉熵相关的损失函数，网上这篇文章讲的很详细。

使用PyTorch求导

两种方式。

使用torch.autograd.grad()

以MSE为例，模型pred = w*x。

import torch
from torch.nn import functional as F

# pred = x*w
x = torch.ones(1)
w = torch.full([1], 2)  # dim=1,长度为1,值初始化为2
y = torch.ones(1)  # 实际输出
mse = F.mse_loss(x * w, y)
print(mse)

得到

tensor(1.)

再求导

res = torch.autograd.grad(mse, [w])  # 让MSE对参数w自动求导

发生错误

RuntimeError: element 0 of tensors does not require grad and does not have a grad_fn

这个错误是因为在前面定义w时，没有设定其需要梯度信息，所以PyTorch在建图的时候就没有设置它具有梯度信息。

可以在定义完w后将其设置为需要梯度信息：

w = torch.full([1], 2)
w.requires_grad_()

也可以在建立Tensor时用参数指明它需要梯度信息：

w = torch.full([1], 2, requires_grad=True)

将得到的求导结果res输出，可以得到：

(tensor([2.]),)

这和手动计算的结果相同。

使用loss.backward()

使用LOSS对象的backward()方法，让PyTorch做反向的搜索，将需要grad信息的Tensor求出这个LOSS关于它的导数出来。

import torch
from torch.nn import functional as FF

# pred = x*w
x = torch.ones(1)
w = torch.full([1], 2, requires_grad=True)  # dim=1,长度为1,值初始化为2
y = torch.ones(1)  # 实际输出
mse = FF.mse_loss(x * w, y)
# 自动向图的反向搜索,求出相对于这个MSE的导数来
mse.backward()
print(w.grad)

运行结果：

(tensor([2.]),)

注意，这个API会将之前的梯度信息覆盖掉，所以多次调用这个LOSS对象的.backward()方法时会报错，如果要再次调用以生成新的梯度信息，要给它一个参数：

mse.backward(retain_graph=True)