欧几里德与拓展欧几里德算法

做poj1061的时候接触到了拓展欧几里德算法，所以查阅了一下白书和网上的解释，现在整理一下。

欧几里德算法：

欧几里德算法比较简单，就是俗称辗转相除法的一直求两个数的最大公约数的算法，关键在于：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，与边界条件gcd(a,0)=a结合就可以递归求得结果。

核心代码：

int gcd(int a, int b)
{
	return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

利用gcd(a,b)还可以求出两个数的最小公倍数lcm(a,b)，因为gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b，但这里为了防止数据过大溢出，我们先除后乘，也就是lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b。

拓展欧几里德算法：

扩展欧几里德算法的定义是找出一对整数x,y，使ax+by=gcd(a,b)，注意这里的x,y不一定为整数，可以为负数或0。

核心代码：

int e_gcd(int a, int b,int &x,int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1; y = 0;
		return a;
	}
	int ans = e_gcd(b, a%b, x, y);
	int temp = x;
	x = y;
	y = temp - a / b*y;
	return ans;
}

具体证明： 点击打开链接
这是白书上的代码，简洁但是不好理解：

void gcd ( int a , int b , int &d , int &x , int &y )
{			             //a，b分别代表方程的系数，d返回a，b的最大公约数，x，y返回对应的解
    if ( ! b )		             //当b等于0的时候，方程就变成了ax=gcd（a，0）=a，所以此时明显可以得到方程的解为x=1，y=0，此时d就为a
        d = a , x = 1 , y = 0 ;
    else
    {			             //递归求方程的解
         gcd ( b , a % b , d , y , x ) ;
         y -= ( a / b ) * x ;
    }
}

扩展欧几里德的用处：
求解形如 a*x +b*y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，比如一个数对于另一个数的乘法逆元，或者求最小整数解之类的。