周志华-机器学习-笔记(二)-线性模型

  线性模型(linear model)试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数。如,给定由d个属性描述的示例 x=(x1;x2;...;xd) x = ( x 1 ; x 2 ; . . . ; x d ) ,其中 xi x i 是在 i i 个属性上的取值,则线性模型为

f(x)=w1x1+w2x2+...+wdxd+b f ( x ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 + . . . + w d x d + b

一般写成向量形式
f(x)=wTx+b f ( x ) = w T x + b

其中 w=(w1;w2;...;wd) w = ( w 1 ; w 2 ; . . . ; w d ) w w b b 学得之后,模型就得以确定。

  • 线性模型有很好的可解释性(comprehensibility)。
  • 许多功能更为强大的非线性模型(nonlinear model)可在线性模型的基础上通过引入层级结构或高维映射而得。

下面介绍几种经典的线性模型。

线性回归

  给定数据集 D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)} D = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x m , y m ) } ,其中 xi=(xi1;xi2;...;xid),yiR x i = ( x i 1 ; x i 2 ; . . . ; x i d ) , y i ∈ R ,( yi y i 是对应的 xi x i 的标签)
线性回归试图学得

f(xi)=wxi+b使f(xi)yi f ( x i ) = w x i + b , 使 得 f ( x i ) 接 近 与 y i

  在线性回归中,最小二乘法就是试图找到一条直线,使所有样本到直线上的欧氏距离之和最小。求解 w w b b 使 E(w,b)=mi=1(yiwxib)2 E ( w , b ) = ∑ i = 1 m ( y i − w x i − b ) 2 最小化的过程,称为线性回归模型的最小二乘“参数估计”(parameter estimation)
假如输出标尺是在指数尺度上的变化,那将输出标尺的对数作为线性模型逼近的目标,即
lny=wTx+b ln ⁡ y = w T x + b

这就是“对数线性回归”(log-linear regression)
周志华-机器学习-笔记(二)-线性模型_第1张图片
更一般地,使用单调可微函数 g() g ( ⋅ ) ,用
y=g1(wTx+b) y = g − 1 ( w T x + b )

  这样的模型称为“广义线性模型”(generalized linear model),函数 g() g ( ⋅ ) 称为“联系函数“(link function)。对数线性回归是广义线性模型在 g()=ln() g ( ⋅ ) = ln ⁡ ( ⋅ ) 时的一个特例。

对数几率回归

  广义线性模型在做分类任务时,只需找一个单调可微函数将分类任务的真实标记 y y 与线性回归模型的预测值联系起来。
  考虑二分类任务时,输出标记为 y={0,1} y = { 0 , 1 } ,而线性回归模型产生的预测值 z=wTx+b z = w T x + b 是实值,所以要将实值 z z 转换为 0/1 0 / 1 值,最理想的是”单位阶跃函数“(unit-step function)。(若预测值为临界值0时则可以任意判别)。
  但问题是单位阶跃函数是不连续的函数,因此不能直接用作 g() g − ( ⋅ ) 。故有没有理想的替代函数,既有单位阶跃函数的特点,同时是单调可微的呢?对数几率函数(logistic function)就是这样一个常用的替代函数:

y=11+ez y = 1 1 + e − z

如下图:
周志华-机器学习-笔记(二)-线性模型_第2张图片
  对数几率函数可以将 z z 值转化为一个接近0或1的 y y 值,并在 z=0 z = 0 附近变化很陡,将代数几率函数作为 g() g ( ⋅ ) 代入广义线性模型,有
y=11+e(wTx+b) y = 1 1 + e − ( w T x + b )

该式可变化为
lny1y=wTx+b ln ⁡ y 1 − y = w T x + b

  若将 y y 视为 x x 为正例的可能性,则 1y 1 − y 是其反例的可能性,两者的比值 y1y y 1 − y 称为”几率“(pdds),反映了 x x 为正例的相对可能性,对几率取对数则得到”对数几率“(log odds):
lny1y ln ⁡ y 1 − y

   y=11+e(wTx+b) y = 1 1 + e − ( w T x + b ) 实际上是用线性回归模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率,其对应模型称为” 对数几率回归“(logistic regression)
  至于如何确定 w w b b 的值,在这里暂时不做讨论。

线性判别分析

  性别判别分析(Linear Discriminant Analysis)简称LDA,是一种经典的线性学习方法,它的思想很简单:给定训练样例集,设法将样例投影到一条直线上,使得同类样例的投影点尽可能接近、异类样例的投影点尽可能远离;在对新样本进行分类时,将其投影到同样的这条直线上,再根据投影点的位置来确定新样本的类别。周志华-机器学习-笔记(二)-线性模型_第3张图片
令给定的数据集 D={(xi,yi)}mi=1,yi{0,1} D = { ( x i , y i ) } i = 1 m , y i ∈ { 0 , 1 }
XiμiΣi X i 、 μ i 、 Σ i 分别代表第 i{0,1} i ∈ { 0 , 1 } 类示例的集合、均值向量、协方差矩阵。
则两类样本在直线上的投影分别为 wTμ0 w T μ 0 wTμ1 w T μ 1
两类样本的协方差分别为 wTΣ0w w T Σ 0 w wTΣ1w w T Σ 1 w
由于直线是一维空间(于直线本身考虑,直线就是一维),因此 wTμ0 w T μ 0 wTμ1 w T μ 1 wTΣ0w w T Σ 0 w wTΣ1w w T Σ 1 w 均为实数。
  要使同类样例的投影点尽可能接近,可以让同类样例的投影点的协方差尽可能小,及 wTΣ0w+wTΣ1w w T Σ 0 w + w T Σ 1 w 尽可能小;要使异类样例的投影点尽可能远离,可以让类中心之间的距离尽可能大,即 ||wTμ0wTμ1||22 | | w T μ 0 − w T μ 1 | | 2 2 尽可能大。同时考虑两者,则得到最大化目标:

J=||wTμ0wTμ1||22wTΣ0w+wTΣ1w(3.32) (3.32) J = | | w T μ 0 − w T μ 1 | | 2 2 w T Σ 0 w + w T Σ 1 w

  此处定义两个概念:
  “ 类内散度矩阵”(within-class scatter matrix):
Sw=Σ0+Σ1xX0(xμ0)(xμ0)T+xX1(xμ1)(xμ1)T S w = Σ 0 + Σ 1 = ∑ x ∈ X 0 ( x − μ 0 ) ( x − μ 0 ) T + ∑ x ∈ X 1 ( x − μ 1 ) ( x − μ 1 ) T

  “ 类间散度矩阵”(between-class scatter matrix):
  
Sb=(xμ1)(xμ1)T S b = ( x − μ 1 ) ( x − μ 1 ) T

  则公式(3.32)可以重写为
J=wTSbwwTSww(3.35) (3.35) J = w T S b w w T S w w

  这就是LDA欲最大化的目标,即 Sb S b Sw S w 的“ 广义瑞利商”(generalized Rayleigh quotient)。
   确定 w w 的方法:(这里不是太懂,后续更新)
  注意到公式(3.35)的分子和分母都是关于 w w 的二次项,分子分母会将 w w 的长度约去,因此公式(3.35)的解与长度无关,只与其方向有关。不失一般性,令 wTSww=1 w T S w w = 1 ,则(3.35)等价于
minwwTSbws.t.wTSww=1 m i n w − w T S b w s . t . w T S w w = 1

多分类学习

  在很多情况下,我们会利用二分类学习器来解决多分类问题。不失一般性,考虑 N N 个类别 C1,C2,...,CN C 1 , C 2 , . . . , C N ,多分类学习的基本思路是“拆解法”,即将多分类任务拆为若干个二分类任务求解。
  最经典的拆分策略有三种:“一对一”(One vs. One,简称OvO)、“一对其余”(One vs. Rest,简称OvR)和“多对多”(Many vs. Many,简称MvM)。
  给定数据集D
   D={(x1,y1,(x2,y2),...,(xm,ym))},yi{C1,C2,...,CN} D = { ( x 1 , y 1 , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x m , y m ) ) } , y i ∈ { C 1 , C 2 , . . . , C N }
  
  当使用OvO拆分时,将这 N N 个类别两两配对,从而产生 N(N1)/2 N ( N − 1 ) / 2 个二分类任务。在训练阶段,OvO将为区分 Ci C i Cj C j 训练成一个分类器,该分类器把 D D 中的 Ci C i 类样例作为正例, Cj C j 类样例作为反例。在测试阶段,新样本将同时提交给所有分类器,于是得到 N(N1)/2 N ( N − 1 ) / 2 个分类结果,最终把预测的最多的类别作为最终分类结果。

  当使用OvR拆分时,在训练阶段,将一个类的样例作为正例,所有其它类的样例作为反例来训练 N N 个分类器。在测试阶段,新样本将同时提交给所有分类器,若仅有一个分类器预测为正类、则对应的类别标记作为最终分类结果;若有多个分类器预测为正类,则通常考虑各分类器的预测置信程度,选择置信度最大的类别标记作为分类结果。
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  对比OvO和OvR可以看出,OvR只需训练 N N 个分类器,而OvO需训练 N(N1)/2 N ( N − 1 ) / 2 个分类器,因此,OvO的存储开销和测试时间开销通常比OvR更大。但在训练时,OvR的每个分类器均使用全部的训练样例,OvO的每个分类器仅使用两个类的样例,因此,在类别很多时,OvO的训练时间开销通常比OvR小。但预测性能在多数情况下两者差不多。

  MvM是每次将若干个类作为正类,若干个其它类作为反类。它的正反类构造必须有特殊的设计,不能随便选取。
  “纠错输出码”(Error Correcting Output Codes,简称ECOC)是一种最常用的MvM技术。其工作工程主要分为两步:
  编码:对 N N 个类别做 M M 次划分,形成一个二分类训练集,这样产生 M M 个训练集,可训练出 M M 个分类器。
  解码: M M 个分类器分别对测试演变进行预测,这些预测标记组成一个编码。将这个预测标记与每个类别各自的编码进行比较,返回其中距离最小的类别作为最终预测结果。
  类别划分通过“编码矩阵”(coding matrix)指定,常见有二元码(只有正类和反类)和三元码(正类反类和停用类)。在测试阶段,ECOC编码对分类器的错误有一定的容忍和修正能力。下图是一个示意图:
  周志华-机器学习-笔记(二)-线性模型_第5张图片
  上图(a)的若取海明距离(在信息编码中,两个合法代码对应位上编码不同的位数称为码距,又称海明距离)最小,又或者取欧氏距离最小的预测结果是 C3 C 3

类别不平衡问题

  类别不平衡(class-imbalance)就是指分类任务中不同类别的训练样例数目差别很大的情况。在使用OvR、MvM策略后产生的二分类任务仍可能出现类别不平衡现象。不失一般性,我们假设正类样例较少,反类样例较多。
  从线性分类器的角度讨论,在用 y=wTx+b y = w T x + b 对新样本 x x 进行分类时,通常将预测出来的y值与阀值比较,例如当 y>0.5 y > 0.5 时判别为正例,否则反例。故:

y1y>1(3.46) (3.46) 若 y 1 − y > 1 则 预 测 为 正 例

  当训练集中正、反例的数目不同时,令 m+ m + 表示正例数目, m m − 表示反例数目,则观察几率 m+m m + m − 。由于我们通常假设训练集是真实样本总体的无偏差采样,因此观察几率就代表了真实几率。当分类器的预测几率高于观察几率时,为正例的可能性大。于是:
y1y>m+m(3.47) (3.47) 若 y 1 − y > m + m − 则 预 测 为 正 例

  但分类器做决策时是根据式(3.46),因此需要让
y,1y,=y1y×mm+(3.48) (3.48) y , 1 − y , = y 1 − y × m − m +
使其实际上还是执行式(3.47)。这是类别不平衡学习的一个基本策略——“ 在缩放”(rescaling,亦称rebalance)。
  在实际中,“训练集是真实样本总体的无偏采样”这个假设往往不成立,所以我们未必能有效地基于训练集观测几率来推断真实几率。现有技术大体上的三类做法:
欠采样(undersampling):去除一部分反例,使得正例与反例数目接近。
过采样(oversampling):增加一些正例,使得正例与反例数目接近。
阀值移动(threshold-moving):将式(3.48)嵌入到其决策过程中。

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