周志华-机器学习-笔记（二）-线性模型

　　线性模型(linear model)试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数。如，给定由d个属性描述的示例 x=(x1;x2;...;xd) x = ( x 1 ; x 2 ; . . . ; x d ) ，其中 xi x i 是在 i i 个属性上的取值，则线性模型为

f(x)=w1x1+w2x2+...+wdxd+b f ( x ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 + . . . + w d x d + b

一般写成向量形式

f(x)=wTx+b f ( x ) = w T x + b

其中 w=(w1;w2;...;wd) w = ( w 1 ; w 2 ; . . . ; w d ) ， w w 和 b b 学得之后，模型就得以确定。

• 线性模型有很好的可解释性(comprehensibility)。
• 许多功能更为强大的非线性模型(nonlinear model)可在线性模型的基础上通过引入层级结构或高维映射而得。

下面介绍几种经典的线性模型。

线性回归

　　给定数据集 D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)} D = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x m , y m ) } ，其中 xi=(xi1;xi2;...;xid),yi∈R x i = ( x i 1 ; x i 2 ; . . . ; x i d ) , y i ∈ R ，（ yi y i 是对应的 xi x i 的标签）
线性回归试图学得

f(xi)=wxi+b，使得f(xi)接近与yi f ( x i ) = w x i + b ， 使 得 f ( x i ) 接 近 与 y i

　　在线性回归中，最小二乘法就是试图找到一条直线，使所有样本到直线上的欧氏距离之和最小。求解 w w 和 b b 使 E(w,b)=∑mi=1(yi−wxi−b)2 E ( w , b ) = ∑ i = 1 m ( y i − w x i − b ) 2 最小化的过程，称为线性回归模型的最小二乘“参数估计”(parameter estimation)
假如输出标尺是在指数尺度上的变化，那将输出标尺的对数作为线性模型逼近的目标，即

lny=wTx+b ln ⁡ y = w T x + b

这就是“对数线性回归”(log-linear regression)

更一般地，使用单调可微函数 g(⋅) g ( ⋅ ) ，用

y=g−1(wTx+b) y = g − 1 ( w T x + b )

　　这样的模型称为“广义线性模型”(generalized linear model)，函数 g(⋅) g ( ⋅ ) 称为“联系函数“(link function)。对数线性回归是广义线性模型在 g(⋅)=ln(⋅) g ( ⋅ ) = ln ⁡ ( ⋅ ) 时的一个特例。

对数几率回归

　　广义线性模型在做分类任务时，只需找一个单调可微函数将分类任务的真实标记 y y 与线性回归模型的预测值联系起来。
　　考虑二分类任务时，输出标记为 y={0,1} y = { 0 , 1 } ，而线性回归模型产生的预测值 z=wTx+b z = w T x + b 是实值，所以要将实值 z z 转换为 0/1 0 / 1 值，最理想的是”单位阶跃函数“(unit-step function)。(若预测值为临界值0时则可以任意判别)。
　　但问题是单位阶跃函数是不连续的函数，因此不能直接用作 g−(⋅) g − ( ⋅ ) 。故有没有理想的替代函数，既有单位阶跃函数的特点，同时是单调可微的呢？对数几率函数(logistic function)就是这样一个常用的替代函数：

y=11+e−z y = 1 1 + e − z

如下图：

　　对数几率函数可以将 z z 值转化为一个接近0或1的 y y 值，并在 z=0 z = 0 附近变化很陡，将代数几率函数作为 g(⋅) g ( ⋅ ) 代入广义线性模型，有

y=11+e−(wTx+b) y = 1 1 + e − ( w T x + b )

该式可变化为

lny1−y=wTx+b ln ⁡ y 1 − y = w T x + b

　　若将 y y 视为 x x 为正例的可能性，则 1−y 1 − y 是其反例的可能性，两者的比值 y1−y y 1 − y 称为”几率“(pdds)，反映了 x x 为正例的相对可能性，对几率取对数则得到”对数几率“(log odds)：

lny1−y ln ⁡ y 1 − y

　　 y=11+e−(wTx+b) y = 1 1 + e − ( w T x + b ) 实际上是用线性回归模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率，其对应模型称为” 对数几率回归“(logistic regression)
　　至于如何确定 w w 和 b b 的值，在这里暂时不做讨论。

线性判别分析

　　性别判别分析(Linear Discriminant Analysis)简称LDA，是一种经典的线性学习方法，它的思想很简单：给定训练样例集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影点尽可能接近、异类样例的投影点尽可能远离；在对新样本进行分类时，将其投影到同样的这条直线上，再根据投影点的位置来确定新样本的类别。
令给定的数据集 D={(xi,yi)}mi=1,yi∈{0,1} D = { ( x i , y i ) } i = 1 m , y i ∈ { 0 , 1 } 。
令 Xi、μi、Σi X i 、 μ i 、 Σ i 分别代表第 i∈{0,1} i ∈ { 0 , 1 } 类示例的集合、均值向量、协方差矩阵。
则两类样本在直线上的投影分别为 wTμ0 w T μ 0 和 wTμ1 w T μ 1 。
两类样本的协方差分别为 wTΣ0w w T Σ 0 w 和 wTΣ1w w T Σ 1 w 。
由于直线是一维空间（于直线本身考虑，直线就是一维），因此 wTμ0 w T μ 0 、 wTμ1 w T μ 1 、 wTΣ0w w T Σ 0 w 和 wTΣ1w w T Σ 1 w 均为实数。
　　要使同类样例的投影点尽可能接近，可以让同类样例的投影点的协方差尽可能小，及 wTΣ0w+wTΣ1w w T Σ 0 w + w T Σ 1 w 尽可能小；要使异类样例的投影点尽可能远离，可以让类中心之间的距离尽可能大，即 ||wTμ0−wTμ1||22 | | w T μ 0 − w T μ 1 | | 2 2 尽可能大。同时考虑两者，则得到最大化目标：

J=||wTμ0−wTμ1||22wTΣ0w+wTΣ1w(3.32) (3.32) J = | | w T μ 0 − w T μ 1 | | 2 2 w T Σ 0 w + w T Σ 1 w

　　此处定义两个概念：
　　“ 类内散度矩阵”(within-class scatter matrix)：

Sw=Σ0+Σ1＝∑x∈X0(x−μ0)(x−μ0)T+∑x∈X1(x−μ1)(x−μ1)T S w = Σ 0 + Σ 1 ＝ ∑ x ∈ X 0 ( x − μ 0 ) ( x − μ 0 ) T + ∑ x ∈ X 1 ( x − μ 1 ) ( x − μ 1 ) T

　　“ 类间散度矩阵”(between-class scatter matrix)：
　　

Sb=(x−μ1)(x−μ1)T S b = ( x − μ 1 ) ( x − μ 1 ) T

　　则公式(3.32)可以重写为

J=wTSbwwTSww(3.35) (3.35) J = w T S b w w T S w w

　　这就是LDA欲最大化的目标，即 Sb S b 与 Sw S w 的“ 广义瑞利商”(generalized Rayleigh quotient)。
　　 确定 w w 的方法：（这里不是太懂，后续更新）
　　注意到公式(3.35)的分子和分母都是关于 w w 的二次项，分子分母会将 w w 的长度约去，因此公式(3.35)的解与长度无关，只与其方向有关。不失一般性，令 wTSww=1 w T S w w = 1 ，则(3.35)等价于

minw−wTSbws.t.wTSww=1 m i n w − w T S b w s . t . w T S w w = 1

多分类学习

　　在很多情况下，我们会利用二分类学习器来解决多分类问题。不失一般性，考虑 N N 个类别 C1,C2,...,CN C 1 , C 2 , . . . , C N ，多分类学习的基本思路是“拆解法”，即将多分类任务拆为若干个二分类任务求解。
　　最经典的拆分策略有三种：“一对一”(One vs. One，简称OvO)、“一对其余”(One vs. Rest，简称OvR)和“多对多”(Many vs. Many，简称MvM)。
　　给定数据集D
　　 D={(x1,y1,(x2,y2),...,(xm,ym))},yi∈{C1,C2,...,CN} D = { ( x 1 , y 1 , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x m , y m ) ) } , y i ∈ { C 1 , C 2 , . . . , C N } 。
　　
　　当使用OvO拆分时，将这 N N 个类别两两配对，从而产生 N(N−1)/2 N ( N − 1 ) / 2 个二分类任务。在训练阶段，OvO将为区分 Ci C i 和 Cj C j 训练成一个分类器，该分类器把 D D 中的 Ci C i 类样例作为正例， Cj C j 类样例作为反例。在测试阶段，新样本将同时提交给所有分类器，于是得到 N(N−1)/2 N ( N − 1 ) / 2 个分类结果，最终把预测的最多的类别作为最终分类结果。

　　当使用OvR拆分时，在训练阶段，将一个类的样例作为正例，所有其它类的样例作为反例来训练 N N 个分类器。在测试阶段，新样本将同时提交给所有分类器，若仅有一个分类器预测为正类、则对应的类别标记作为最终分类结果；若有多个分类器预测为正类，则通常考虑各分类器的预测置信程度，选择置信度最大的类别标记作为分类结果。
　　
　　对比OvO和OvR可以看出，OvR只需训练 N N 个分类器，而OvO需训练 N(N−1)/2 N ( N − 1 ) / 2 个分类器，因此，OvO的存储开销和测试时间开销通常比OvR更大。但在训练时，OvR的每个分类器均使用全部的训练样例，OvO的每个分类器仅使用两个类的样例，因此，在类别很多时，OvO的训练时间开销通常比OvR小。但预测性能在多数情况下两者差不多。

　　MvM是每次将若干个类作为正类，若干个其它类作为反类。它的正反类构造必须有特殊的设计，不能随便选取。
　　“纠错输出码”(Error Correcting Output Codes，简称ECOC)是一种最常用的MvM技术。其工作工程主要分为两步：
　　编码：对 N N 个类别做 M M 次划分，形成一个二分类训练集，这样产生 M M 个训练集，可训练出 M M 个分类器。
　　解码： M M 个分类器分别对测试演变进行预测，这些预测标记组成一个编码。将这个预测标记与每个类别各自的编码进行比较，返回其中距离最小的类别作为最终预测结果。
　　类别划分通过“编码矩阵”(coding matrix)指定，常见有二元码(只有正类和反类)和三元码(正类反类和停用类)。在测试阶段，ECOC编码对分类器的错误有一定的容忍和修正能力。下图是一个示意图：
　　
　　上图(a)的若取海明距离（在信息编码中，两个合法代码对应位上编码不同的位数称为码距，又称海明距离）最小，又或者取欧氏距离最小的预测结果是 C3 C 3 。

类别不平衡问题

　　类别不平衡(class-imbalance)就是指分类任务中不同类别的训练样例数目差别很大的情况。在使用OvR、MvM策略后产生的二分类任务仍可能出现类别不平衡现象。不失一般性，我们假设正类样例较少，反类样例较多。
　　从线性分类器的角度讨论，在用 y=wTx+b y = w T x + b 对新样本 x x 进行分类时，通常将预测出来的y值与阀值比较，例如当 y>0.5 y > 0.5 时判别为正例，否则反例。故：

若y1−y>1则预测为正例(3.46) (3.46) 若 y 1 − y > 1 则 预 测 为 正 例

　　当训练集中正、反例的数目不同时，令 m+ m + 表示正例数目， m− m − 表示反例数目，则观察几率 m+m− m + m − 。由于我们通常假设训练集是真实样本总体的无偏差采样，因此观察几率就代表了真实几率。当分类器的预测几率高于观察几率时，为正例的可能性大。于是：

若y1−y>m+m−则预测为正例(3.47) (3.47) 若 y 1 − y > m + m − 则 预 测 为 正 例

　　但分类器做决策时是根据式(3.46)，因此需要让

y,1−y,=y1−y×m−m+(3.48) (3.48) y , 1 − y , = y 1 − y × m − m +

使其实际上还是执行式(3.47)。这是类别不平衡学习的一个基本策略——“ 在缩放”(rescaling，亦称rebalance)。
　　在实际中，“训练集是真实样本总体的无偏采样”这个假设往往不成立，所以我们未必能有效地基于训练集观测几率来推断真实几率。现有技术大体上的三类做法：
欠采样(undersampling)：去除一部分反例，使得正例与反例数目接近。
过采样(oversampling)：增加一些正例，使得正例与反例数目接近。
阀值移动(threshold-moving)：将式(3.48)嵌入到其决策过程中。