最长上升子序列问题的几种解法

最长上升子序列问题的几种解法

拿POJ 2533来说。

Sample Input

7
1 7 3 5 9 4 8

Sample Output(最长上升/非降子序列的长度)

4

从输入的序列中找出最长的上升子序列(LIS)。

这题一看,是一道典型的DP问题(就是动态规划),可以用dfs,深度优先遍历来解,如下代码:

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#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;
 
int n;
int* a;
stack<int> s;
int count=0;
int best=0;

void dfs(int i)
{
  if(i==n)
  {
    if(s.size()>best) best=s.size();
    return;
  }
  if(s.empty()||a[i]>s.top())
  {
    s.push(a[i]);
    dfs(i+1);
    s.pop();
  }
  if(s.size()+n-i-1>best) dfs(i+1);
} 

int main()
{
  while(cin>>n)
{
   int i;
  a=new int[n];
  for(i=0;i<n;i++)
  {
    cin>>a[i];
  }
 dfs(0);
 cout<<best<<endl;
 delete [] a;
}
 return 0;
}
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  其实为了简化代码以及算法效率,我们可以用数据组来代替递归。。。下面我就给出LIS的DP的数据组形式的解法:

(懒得写了,就拿个别人的代码来展示吧)

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#include <iostream>
#define SIZE 1001
 
using namespace std;
 
int main()
{
    int i, j, n, max;
    /* a[i]表示输入第i个元素 */
    int a[SIZE];
    /* d[i]表示以a[i]结尾的最长子序列长度 */
    int d[SIZE];
 
    while(cin >> n)
 {
  for (i = 1; i <= n; i++)
  {
   cin >> a[i];
  }
 
  max = 0;
  for (i = 1; i <= n; i++)
  {
   d[i] = 1;
   for (j = 1; j <= i - 1; j++)
   {
    if (a[j] < a[i] && d[i] < d[j] + 1) //这边,要注意 d[i] < d[j] + 1这个条件的限制,它是为了在
                                               //连续几个 d[i]相同时 只加一次
    {
     d[i] = d[j] + 1;
    }
   }
   /* 记录最长子序列 */
   if (d[i] > max) max = d[i];
  }
 
  cout << max << endl;
 }
 
    //system("pause");
    return 0;
}
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(作者的解释:)令A[i]表示输入第i个元素,D[i]表示从A[1]到A[i]中以A[i]结尾的最长子序列长度。对于任意的0 <  j <= i-1,如果A(j) < A(i),则A(i)可以接在A(j)后面形成一个以A(i)结尾的新的最长上升子序列。对于所有的 0 <  j <= i-1,我们需要找出其中的最大值。

DP状态转移方程:

D[i] = max{1, D[j] + 1} (j = 1, 2, 3, ..., i-1 且 A[j] < A[i])

解释一下这个方程,i, j在范围内:

如果 A[j] < A[i] ,则D[i] = D[j] + 1

如果 A[j] >= A[i] ,则D[i] = 1

 

其实上面的方法的复杂度都达到了O(n^2)的数量级,有没有更好的解法呢?

有,用栈。

这个解法不是我想的,从网上学来的,这里面与大家分享一下。这个算法的复杂度只有O(nlogn),在有大量数据的情况下,这算法效率极高。。。

(摘录原作者的话)

这个算法其实已经不是DP了,有点像贪心。至于复杂度降低其实是因为这个算法里面用到了二分搜索。本来有N个数要处理是O(n),每次计算要查找N次还是O(n),一共就是O(n^2);现在搜索换成了O(logn)的二分搜索,总的复杂度就变为O(nlogn)了。

这个算法的具体操作如下(by RyanWang):

开一个栈,每次取栈顶元素top和读到的元素temp做比较,如果temp > top 则将temp入栈;如果temp < top则二分查找栈中的比temp大的第1个数,并用temp替换它。 最长序列长度即为栈的大小top。

这也是很好理解的,对于x和y,如果x < y且Stack[y] < Stack[x],用Stack[x]替换Stack[y],此时的最长序列长度没有改变但序列Q的''潜力''增大了。

举例:原序列为1,5,8,3,6,7

栈为1,5,8,此时读到3,用3替换5,得到1,3,8; 再读6,用6替换8,得到1,3,6;再读7,得到最终栈为1,3,6,7。最长递增子序列为长度4。

 

我想,当出现1,5,8,2这种情况时,栈内最后的数是1,2,8不是正确的序列啊?难道错了?

分析一下,我们可以看出,虽然有些时候这样得不到正确的序列了,但最后算出来的个数是没错的,为什么呢?

想想,当temp>top时,总个数直接加1,这肯定没错;但当temp

用该算法完成POJ2533的具体代码如下:

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#include <iostream>
#define SIZE 1001
 
using namespace std;
 
int main()
{
    int i, j, n, top, temp;
    int stack[SIZE];
    while(cin >> n)
   {
    top = 0;
    /* 第一个元素可能为0 */
    stack[0] = -1;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> temp;
        /* 比栈顶元素大数就入栈 */
        if (temp > stack[top])
        {
            stack[++top] = temp;
        }
        else
        {
            int low = 1, high = top;
            int mid;
            /* 二分检索栈中比temp大的第一个数 */
            while(low <= high)
            {
                mid = (low + high) / 2;
                if (temp > stack[mid])
                {
                    low = mid + 1;
                }
                else
                {
                    high = mid - 1;
                }
            }
            /* 用temp替换 */
            stack[low] = temp;
        }
    }
 
    /* 最长序列数就是栈的大小 */
    cout << top << endl;
  } 
    return 0;
}
复制代码今天打组队赛被一道最长上升子序列问题超时超到怀疑人生, 自以为自己那O(N^2)的算法就能够解决一切, 上网居然找到了速度更快的算法! Get到新技能。

文章出处:http://www.cnblogs.com/dartagnan/archive/2011/08/29/2158247.html

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