稀疏表示介绍

http://www.cnblogs.com/daniel-D/p/3222576.html

  

声明 

1. 之前虽然听过压缩感知和稀疏表示，实际上昨天才正式着手开始了解，纯属新手，如有错误，敬请指出，共同进步。

2. 主要学习资料是 Coursera 上 Duke 大学的公开课——Image and video processing, by Pro.Guillermo Sapiro 第 9 课。

3. 由于对图像处理的了解也来自与该课程，没正经儿看过几本图像方面的书籍，有些术语只能用视频中的英文来表达，见谅哈！

 

1. Denoising 与 MAP

故事从 denoising 说起，话说手头上有一张含有噪音的图片 Lena，如何除去噪音得到好的 clean image 呢？

对于上面的问题，用 x 值表示某个像素的灰度值，我们可以建立这样一个最小化的数学模型：

其中， y 表示已知的观测值，也就是含有噪声的原图， x 表示要恢复成 clean image 的未知值。

模型的第一项的直观作用就是，预测值 x 不要离观测值 y 太远。数学上的解释是， x 的取值概率可以看做是以 y 为均值的高斯分布，即图像带有 Gaussian noise， 第二项是规则化项。由来如下：假设 x 本来是就带有某种先验概率的分布，现在又已知观测值 y， 根据贝叶斯原理， 现在 x 的分布（后验）正比于先验概率分布与高斯分布的乘积。如果先验概率分布也正是指数分布，将乘积取负对数，就可以得到上述在机器学习里非常常见的 MAP 模型。

现在的问题是：最好的先验 (prior) 究竟是什么？ G(x) 应该取什么形式？ 定义图像信号的最好空间是什么？

在学术界，这方面的工作已经做得非常多，对这个问题的探讨过程可以比喻成类人猿向人类进化的过程:

第一张图， prior 假设 clean image 能量尽量小， x 要尽可能地小。第二张图， prior 认为恢复后的图像要光滑，于是产生了 Laplacian 和 low energy 的结合，朝前进化了一步。第三张图，prior 认为要考虑 edges 是不光滑滴，需要不同情况不同处理…… Sparse and Redundant 是正在讨论的问题，目前是最新的进化版本，而后面也有一些算法，虽然也成功进化成人类，可惜太胖了，行动不便—— computationally expensive and difficult。 Sparse modeling 的先验究竟是什么？要回答这个问题，还需要了解一些基础概念。

 

2. Sparsity and Lp Norm

1. How to Represent Sparsity

   表示一个向量的稀疏程度可以用 Lp norm， 对于 alpha 向量的某一个元素为 x， Lp norm 的计算公式和函数图像如下：

   我们希望不管 x 多大，它非零的惩罚是相同的，L0 norm 正好满足这个要求，它表示的意思是数出 alpha 向量中非零的个数。

2. Sparse Modeling of Signal

   一张 8×8 的图片，可以表示成 64 维的向量 x ，如何进行稀疏表示？下图中假设 N = 64：

   左边矩阵 D 是字典矩阵，由 K 个 N 维的列向量组成。 根据 K 与 N 的关系，又可以划分为：

   1. K > N: over-complete, 这种情况在稀疏表示里面最常见

   2. K = N: complete, 例如傅里叶变换和 DCT 变换都是这种情况

   3. K < N: under-complete

 

中间列向量 alpha 是一个稀疏向量，特点是非零项很少，图中只有三个非零项，代表 D 矩阵对应行向量的线性组合。

最后 x 向量表示恢复后的向量。

atoms 表示 D 的列向量

实际上 DCT 变换也可以看做是一种稀疏表示，它的 D 向量是由固定的且刚好完备的正交基向量组成，并且 alpha 向量也具有一定稀疏性。

对于上图，假设 D 矩阵 K > N，并且是满秩的，那么对于任意个 N 维的向量 b （图中是 x ），肯定有 Ax = b。现在加入 Lp norm 的约束条件，限制只能用少量的 A 的列向量 (atoms 作为基，向量 b 就被固定在某个 span 内，成为了一个 Lp 优化问题：

用紫色表示平面，用青色表示 norm 取同一个值的球形(等高线)，问题如下：在平面 Ax = b 平面内选出 norm 最小的最优解

当 p >= 1时，norm ball和平面的交点有多个。这是一个凸优化问题，可以用拉格朗日乘子来解决这个问题。

当 0 < p < 1 时， norm ball 可行解十分稀疏，是一个非凸优化问题，解决这类问题很难，但是却有很好的稀疏性。

当 p = 0 时， norm ball 上的点除了坐标轴，其他部分无限收缩，与平面的交点在某一个坐标轴上，非零系数只有一个。

回到第一节将的 MAP 模型， Sparse Modeling 模型就是非零系数限制在 L 个之内（意味着解在至多 L 个 atoms 组成的 span 里），尽可能接近平面:

这样，我们用少量的 atoms 组合成真实信号，而 noise cannot be fitted very well, 在投影到低维空间的过程中起到了降噪的作用。 

 

 

3. Some Issues：

 模型可以改成 L0 norm 的形式和其他形式来计算或者求近似吗？

解集 alpha 向量是唯一的吗？我们可以求它的近似吗？如果可以，如何估计近似程度?

应该采用什么样的字典矩阵 D 才能较好地消除噪声？字典 D 如何确定？

 

1. Uniqueness

假设我们已知字典矩阵 D 和稀疏向量 a， 计算出一个信号 x，即 Da = x, x 存在一个关于 D 的稀疏表示。反过来现在已知前面的 D 和 x，根据 L0 的优化问题，可以归纳为：

 的解是唯一的吗？

显然不一定。比如， D 中某些 atoms 恰好相等，或者 column1 = column2 + column3, 以前由 column2 和 column3 现在只用 column1 表示即可。当然也有正面的例子，比如 DCT 变换, 基向量完全正交，解是唯一的。这与 D 中 atoms 的不相关性和数目 K 有关。

 

2. Sparse Coding

和上面一样，现有字典 D 和带有噪声的信号 y，进行稀疏编码的问题可以表示的 L0 优化问题：

这是一个组合优化问题。假设 alpha 的非零项数目为 L (sparse Level)， 先令 L = 1, 每一个列向量尝试一遍，看看是否又满足条件的，共有 K 种组合。如果没有，再令 L = 2, 再次尝试，共有 K(K-1)/2 中组合。还没有满足条件的，则令 L = 3......组合的数目呈指数增长，这是一个 NP-hard 的问题。 实际应用中的 K = 1000, L = 10, 要穷尽所有的排列组合大概需要计算几百万年，因此要采用近似算法, 目前主要有 relaxation methods 和 greedy methods。

1. Relaxation Methods - the Basis Pursuit (BP)
   我们知道， L0 norm 可以数出向量中非零 entries 的数目，具有很好的现实意义，但是由于它数学特性（求导等）极差，非常不适合作为一个优化模型中目标函数。在线性分类器中，你可以把误分点的数目作为目标函数，但是没法优化，所以，我们看到的线性分类器的的目标函数一般是 L1 norm（感知器算法）， L2 norm（LMS 算法和最小二乘法）以及最大熵（Logistic Regresson）等，也能达到比较好的效果。在上一篇博客中，可以看到 L1 是菱形， L2 是球体，L1 具有更好的稀疏性(解更靠近坐标轴)，所以我们采用松弛方法将 L0 norm 转换为 L1 norm：

   
   虽然我们把 count number 变成了 count the magnitude， 但是在某些条件下，上式的解与松弛之前的解等价。上述方法也叫 BP，新定义的问题是一个凸优化问题，解决的方法很多，有 Interior Point methods, Sequential shrinkage for union of ortho-bases, Iterative shrinkage 等。

    

2. Greedy Methods - Matching Pursuit (MP)
   第一步，找到最接近(平行) y 的 atom， 等效与在 alpha 向量上仅取一个非零项，求出最接近的 atom， 保留下来
   第二步，计算误差是否满足要求，如果满足，算法停止，否则，计算出残差信号，和第一步类似，找到最接近残差向量的 atom， 保留下来
   第三步，调整已选向量的系数，使得 Da 最接近 y，重复第二步 (OMP, Orthogonal Matching Pursuit)

总结一下解决这个问题的算法有：

 

3. Dictionary Learning - K-SVD

字典学习的一个假设是——字典对于一张 good-behaved 的图像具有稀疏表示。因此，选择字典的原则就有能够稀疏地表达信号。有两种方法来设计字典，一种是从已知的变换基中选择，或者可以称为 beyond wavelet 变换，比如 DCT 实际上就是一个稀疏表示（高频部分系数趋向于 0），这种方法很通用，但是不能够 adapted to the signal。第二种方法是字典学习，即通过已有的大量图片数据进行训练和学习。

比如，现在有 P 个信号（张图片）要进行稀疏表示，如何学习一个字典？

上式字典矩阵 D 和 alpha 组成的稀疏表示 A 矩阵都是可变量，目前有几种算法解决这个问题，下面介绍 K-SVD 算法（K-Means的一种变种），idea 非常简单。假设现在有原始信号矩阵 X^T, 该矩阵的每一行表示一个信号或者一张图片， D 矩阵是字典矩阵，右下方是 sparse coding 矩阵，红色的点表示非零项：

算法步骤如下：

 

Step 1: Initialize。在 X^T 矩阵中随机挑选一些行向量(一些原图），填满矩阵 D。（ K-means 随机选点初始化) 

Step 2: Sparse Coding. 用上一小节的方法（松弛或者贪婪法）进行稀疏编码，Row-by-Row 计算出稀疏矩阵。

Step 3: Dictionary Update. 字典以列向量为基，自然要 Column-by-Column 地更新字典。比如现在更新某一列, 下方对应的红点，根据红点找到对应的信号（图像），然后除掉其他不相关的图像，得到示意图如下：

上图中字典的 atom 对四张图片都有贡献，我们调整 atom 的目的是使得这个贡献更大，从而使稀疏性表示效果更好。当然，一个 atom 只能表示一条直线，三张图片的信号极有可能不在这条直线上，我们要做的是将中间的误差降到最小，这其实就是一个最小二乘（MSE）的问题。具体做法是将最右下角的矩阵进行 SVD 分解(SVD 相关知识可参考之前我写的博客)，找出主成分，然后回到 Step2, 迭代。

1. From Local to Global Treatment

图片尺寸有大有小，在 DCT 变换中，我们一般取 8×8 的方块作为一组 64 维的变换信号，在稀疏表示中，我们同样也不能把整张图片作为 X^T 矩阵，而是在大图片中取一定尺寸的 patch (假设是 8×8 的方块)作为一个 signal。对于图片中的所有的 patch (假设 ij 是 patch 的左上角坐标)组成的信号，已知字典 D 和噪声图片 y ，估计公式如下：

y: 带有噪音的图片—— the whole image
x: 要恢复的 clear image
Rij x: 以 i，j 为左上角坐标的 patch， Rij 是从 x 中提取 patch 的 0-1 矩阵
D： 字典 for all the overlapping patches

字典 D 从哪里学习？第一种选择是基于图片的数据库，第二种是直接使用要降噪的图片进行训练。还有一种可能性是：首先基于图片的数据库得到字典 D (off-line)，接着来了一张要降噪的图片，我们的做法是新建一个以 D 为初始化的字典，在要处理的图片上再进行迭代(on-line)，得到新字典，这个新字典更适合降噪，代价是多一些计算。

 

2. K-SVD Image Denoising

在上一小节中，我们提出的可能性是 D 也需要根据要降噪的图片进行再适应，所以，图片降噪的公式多了一参数：

有三个变量，处理方法是先固定其中两个，优化一个，然后迭代。从整体上来说，先用 K-SVD 算法得到字典矩阵 D 和系数编码 alpha，保持它们不动，再优化 x：

x 的最优解实际上就是所有包含 x 像素点的 patch 的平均值，比如 patch 的大小是 8×8， 那么包含图片中某一个像素点的 patch 就有 64 个，这个像素点最优解就是取这 64 个patch 对应位置的平均值。当然，你也可以用权重来调节不同位置的 patch 对 pixel 的影响，比如 pixel 在中间的 patch，权重大，pixel 在 patch 边边角角的地方，权重小。

 

3. Compressed Sensing

前面我们探讨了 sparse represent 的等式，这里主要讲 compressed sensing 的概念，即在稀疏表示的等号两边同时乘以矩阵 Q：

就变成了：

用公式可以表达为：

可以看到，变换后的信号被大大压缩了。在一直 x波浪 和 D波浪 的情况下求 alpha 这个问题和前面 sparse coding 非常类似。一个关键问题是：在什么条件下由已知信号 x波浪 的情况下恢复稀疏表示 alpha？显然，这个问题与矩阵 Q，字典 D 和 alpha 的 sparse level 有关，背后涉及很多数学理论。

 

4. Structured Sparse Models and GMM

待续...

 

5. Sparse Modeling and Classification-Activity Recognition

 待续...