《统计学习方法》：第二章：感知机

一、感知机模型：

• 感知机:是二分类的线性分类模型，输入为：实例的特征向量，输出：实例类别(-1和+1)。
• 感知机旨在：学习一个分离超平面，将训练数据进行线性划分。

1、感知机定义

• 假设：输入空间为$X\in R^n$，输出空间为$Y\in \{-1,+1\}$，输入实例的特征向量为：$x\in X$它对应于输人空间的一个点。输入空间到输出空间的映射函数：
  $$f(x)=sign(w\ast x+b)$$被称为感知机；其中$w$和$b$是感知机模型的参数。$\ast$是矩阵乘法（内积运算）。$sign$是符号函数：
  $$sign(x)=\{\begin{array}{ll}+1& x\ge 0\\ -1& x<0\end{array}$$
• 感知觉是一个线性分类模型。属于判别模型。其假设空间是定义在特征空间的所有线性分类模型：即函数集合$\{f(x)=w\ast x+b\}$。

2、几何解释

• 感知机中的线性方程：$w\ast x+b=0$，表示的是输入空间的一个超平面$S$，$w$为该超平面的法向量，$b$为法向量的截距。这个超平面将假设空间分为两部分，按照法向量的方向是分为上部分和下部分。严格的来说是三部分：平面上部空间，平面上和平面下部空间。平面上部空间的样本点代入$w\ast x+b>0$, 平面上的样本点：$w\ast x+b=0$，平面下部空间样本点代入$w\ast x+b<0$。这样我们根据函数值就可以将样本分类。
• 输入空间为平面时，分离超平面就是一条直线，如下图：
  

二、 感知机的学习策略：

1、数据集的线性可分性：

• 给定数据集：$T=(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_N,y_N)$,其中$x_i\in X=R^n,y_i\in \{+1,-1\}，i=1,2,\dots N$。如果存在超平面$S$：$w\ast x+b=0$，能将训练集的正例和负例完全正确的分离到超平面的两侧，则称数据集$T$是线性可分的。

2、感知机的学习策略：

• 假设训练数据集线性可分，则感知觉的目标就是学习到一个分离超平面，要确定一个分离超平面，只需确定其中的$w$和$b$就可以了。
• 为了得到我们想要的分离超平面，我们需要一个学习策略，即定义一个损失函数并将其最小化。
• 一个很自然的损失函数就是误分类点的总数，但是这样的损失函数不是学习参数$w$和$b$的可导函数，不易优化。
• 感知机采样的损失函数是：误分类点到超平面的总距离。样本点$x_0$到超平面$S$的距离为：$$\frac{1}{||w||}|w\ast x_0+b|$$
• 不考虑$\frac{1}{||w||}$，故感知觉的损失函数为：$$-y_i(w\ast x_i+b)$$
• 总结：给定训练集：$T=(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_N,y_N)$,其中$x_i\in X=R^n,y_i\in +1,-1，i=1,2,\dots N$.感知机的损失函数为：$$L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i(w\ast x_i+b)$$其中$M$为误分类的样本集合，即满足$y_i(w\ast x_i+b)\le 0$的样本集合。
• 注意：对于不考虑$\frac{1}{||w||}$的原因，书上没有讲，网上版本比较多，我比较认同的一个解释是：
  • 感知机的任务是进行二分类工作，它的最终目的是找到一个分离超平面，不是找到最优的那个分离超平面，所以它并不关心得到的超平面离各点的距离是多少，只是关心我最后是否已经正确分类样本，比如说下面红色与绿线，对于感知机来说，效果任务是一样好的：
    
  • 所以我们可以不考虑$w$的范式，直接去掉它，因为这个时候我们只考虑误分类点，当一个误分类点出现的时候，我们进行梯度下降，对$w，b$进行改变即可！跟距离没有什么关系了，因为$w$的范式始终是大于0，对于我们判断是否为误分类点没有影响！这也回到了我们最初始那个最直观的损失函数：误分类点的个数。引入距离，只是将它变成一个可导的形式！
• 感知机的学习策略是：在假设空间中选取损失函数最小的模型。

三、 感知机的学习算法：

• 感知机的学习问题转化为求解损失函数的最优化问题，最优化方法是随机梯度下降法。

1、感知机学习算法的原始形式：

• 给定训练集：$T=(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_N,y_N)$,其中$x_i\in X=R^n,y_i\in \{+1,-1\}，i=1,2,\dots N$.求参数$w,b$。使其以下损失函数(目标函数)极小化问题的解：
  $$\underset{w,b}{\min }L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i(w\ast x_i+b)$$其中$M$为误分类的样本集合。
• 感知机学习算法为随机梯度下降算法，步骤如下：
  • 第一步：任选超平面$w_0,b_0$。
  • 第二步：从训练集任选一个样本$(x_i,y_i)$.
  • 第三步：如果$y_i(w\ast x_i+b)\le 0$，使用梯度下降法不断极小化上面目标函数。
    • 极小化过程不是一次性使用$M$中所有误分类点的梯度下降，而是每次随机选取一个误分类点使其梯度下降。
    • 假设集合$M$是固定的，损失函数(目标函数)$L(w,b)$的梯度为：
      $${\nabla }_{w}L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i{x}_i$$$${\nabla }_{b}L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i$$
    • 上面的是损失函数(目标函数)对整个误分类集合$M$的梯度，我们使用的是损失函数(目标函数)对某个误分类点$(x_i,y_i)$的梯度：
      $${\nabla }_{w}L(w,b)=-y_i{x}_i$$$${\nabla }_{b}L(w,b)=-y_i$$
    • 所有随机选取一个误分类点(x_i,y_i)，对w和b的更新公式如下：
      $$w\leftarrow w-\eta {\nabla }_{w}L(w,b)=w+\eta y_i{x}_i$$$$b\leftarrow b-\eta {\nabla }_{b}L(w,b)=w+\eta y_i$$
      其中η为步长
  • 第三步：重复第二、三两步直到训练集上没有错误样本点.
    
    
• 该算法的直观解释：
  • 当一个样本点被误分类时，即位于分离超平面的错误一侧，我们调整$w$和$b$的值，使分离超平面向误分类点的一侧移动，以减少误分类点到分类超平面的距离，直至分离超平面越过误分类点使其被正确分类。

2、感知机学习算法的对偶形式：

• 对偶形式的基本想法：将$w$和$b$表示为实例$x_i$和标记$y_i$的线性组合的形式，通过求解出线性组合的系数从而得到$w$和$b$。
• 在上面的感知机学习算法的原始形式中，如果我们初始化$w_0=b_0=0$。那么最后得到的$w$和$b$可以表示为：
  $$w=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x}_i$$$$b=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i$$其中${\alpha }_i\ge 0$为整个训练过程样本$(x_i,y_i)$的总步长。这样我们的感知机就可以表示为：$$f(x)=sign(\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x}_i\ast x+\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i)$$
• 算法步骤：$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_N)$
  • 第一步：初始化：$\alpha =0$，
  • 第二步：从训练集中选取一个样本$(x_i,y_i)$
  • 第三步：如果$y_i({\sum }_{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j{x}_j\ast x_i+{\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i)\le 0:$$${\alpha }_i\leftarrow {\alpha }_i+\eta$$
  • 第四步:重复第二/三步，直到没有误分类点。
• 注意：书中的算法过程使用$b$来代替${\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i$，但是我个人感觉这样更能体现对偶算法一点。
• 对偶形式中训练实例x_i仅以内积的形式出现，所以我们可以预先将实例之间的内积求出来并保存到矩阵中，这个矩阵叫Gram矩阵：$G=[x_i\ast x_j{]}_{N\times N}$