python3__深度学习__受限玻尔兹曼机

1.什么是受限玻尔兹曼机

玻尔兹曼机是一大类的神经网络模型，但是在实际应用中使用最多的则是受限玻尔兹曼机（RBM）。受限玻尔兹曼机（RBM）是一个随机神经网络（即当网络的神经元节点被激活时会有随机行为，随机取值）。它包含一层可视层和一层隐藏层。在同一层的神经元之间是相互独立的，而在不同的网络层之间的神经元是相互连接的（双向连接）。在网络进行训练以及使用时信息会在两个方向上流动，而且两个方向上的权值是相同的。但是偏置值是不同的（偏置值的个数是和神经元的个数相同的），受限玻尔兹曼机的结构如下：

上图中：h层为隐藏层，为隐藏层的值，v层为可见层，为可见层的值。连接权重可以用矩阵W表示。和DNN（深度神经网络）的区别是，RBM不区分前向和反向，可见层(v)的状态可以作用于隐藏层(h)，而隐藏层(h)的状态也可以作用于可见层(v)。隐藏层的偏执项是向量b,而可见层的偏执项是向量a。常用的RBM一般是二值的，即不管是隐藏层还是可见层，它们的神经元的取值只为0或者1。RBM模型结构的结构：主要是权重矩阵W, 偏执项向量a和b，隐藏层神经元状态向量h和可见层神经元状态向量v（向量均为列向量）。

2.能量函数（激活函数）与概率分布

RBM是基于基于能量的概率分布模型。分为两个部分：第一部分是能量函数，第二部分是基于能量函数的概率分布函数。对于给定的状态向量h和v，则RBM当前的能量函数可以表示为：

 其中a，b是偏执项系数，W是权重矩阵，h，v为可见层与隐藏层的状态向量。有了能量函数，v,h的联合概率分布为：

 其中Z是被称为配分函数的归一化常数（对于概率输出一般都要做归一化）：

 由于配分函数Z难以处理，所以必须使用最大似然梯度来近似。首先从联合分布中导出条件分布：

为了推导方便将无关值归于Z’中： 

 可以容易的得到在给定可视层v的基础上，隐层第j个节点为1或者为0的概率为（可见层的完全条件分布）：

 可以看到就是相当于使用了sigmoid激活函数，现在可以写出关于隐藏层的完全条件分布：

有了激活函数，我们就可以从可见层和参数推导出隐藏层的神经元的取值概率了。对于0,1取值的情况，则大于0.5即取值为1，小于0.5取值为0。从隐藏层和参数推导出可见的神经元的取值方法也是一样的。

3.RBM损失函数

RBM模型的关键就是求出我们模型中的参数W,a,b。首先我们得写出损失函数，RBM一般采用对数损失函数，即期望最小化下式（v为可见层状态向量,m为迭代训练的次数）：

后分别对w,a,b求偏导可得：

虽然说梯度下降从理论上可以用来优化RBM模型，但实际中是很难求得P(v)的概率分布的（P(v)表示可见层节点的联合概率）。计算复杂度非常大，因此采用一些随机采样的方法来得到近似的解。看这三个梯度的第二项实际上都是求期望，而我们知道，样本的均值是随机变量期望的无偏估计。因此一般都是基于对比散度方法来求解。

4.对比散度算法

CD算法大概思路是这样的，从样本集任意一个样本v0开始，经过k次Gibbs采样（实际中k=1往往就足够了），即每一步是：

 

得到样本vk，然后对应于上一篇三个单样本的梯度，用vk去近似：

　　　　

上述近似的含义是说，用一个采样出来的样本来近似期望的计算。下面给出CD-k的算法执行流程。

具体RBM算法的流程：

 

5、深度玻尔兹曼机（DBM）

加深RBM的层数后，就变成了DBM，结构图如下：

　　　　

此时的能量函数变为：

联合概率变成：

其实DBM也可以看做是一个RBM，比如对上图稍微加以变换就可以看做是一个RBM。

将可见层和偶数隐藏层放在一边，将奇数隐藏层放在另一边，我们就得到了RBM，和RBM的细微区别只是现在的RBM并不是全连接的，其实也可以看做部分权重为0的全连接RBM。RBM的算法思想可以在DBM上使用。只是此时我们的模型参数更加的多，而且迭代求解参数也更加复杂了。