熵模型—— 熵，条件熵，联合熵，相对熵，互信息及其关系，最大熵模型。。
引入1：随机变量函数的分布
给定X的概率密度函数为fX(x), 若Y = aX, a是某正实数，求Y得概率密度函数fY(y).
解：令X的累积概率为FX(x), Y的累积概率为FY(y).
则 FY(y) = P(Y <= y) = P(aX <= y) = P(X <= y/a) = FX(y/a),
则 fY(y) = d(FX(y/a)) / dy = 1/a * fX(x/a)
引入2：如何定义信息量
某事件发生的概率小，则该事件的信息量大；
如果两个事件X和Y独立，即p(xy) = p(x)p(y)，假定X和Y的信息量分别为h(X)和h(Y)，则二者同时发生的信息量应该为h(XY) = h(X) + h(Y).
定义事件X发生的概率为：p(x),则X的信息量为：h(p(x)) = -lnp(x)
那么，事件X的信息量的期望如何计算呢？
一句话总结最大熵模型：
我们的假设应当满足全部已知条件；
对未知的情况不做任何主观假设。
（一）熵
对随机事件的信息量求期望，得熵的定义：
H(X) = -Σp(x)lnp(x)
经典熵的定义，底数是2，单位为bit;
为了方便计算可以使用底数e，则单位为nat(奈特)。
可以得到，当一个变量X服从均匀分布时，它所包含的信息熵是最大的。
计算如下：
p(xi) = 1/N, 则熵为：H(p) = -Σpi * lnpi = -Σ1/N * ln(1/N) = lnN
所以，我们可以得到如下结论：
0 <= H(X) <= ln|X|
熵是随机变量不确定性的度量，不确定性越大，熵值越大；
若随机变量退化为定值，则熵最小，为0；
锁随机分布为均匀分布，熵最大。
这是无条件的最大熵分布，那如果是有条件的，该怎么做呢？
使用最大熵模型
若只给定期望和方差的前提下，最大熵的分布形式是什么？
二）联合熵和条件熵
两个随机变量X，Y的恋歌分布，可以形成联合熵（Joint Entropy），用H(X, Y)表示。
即：H(X, Y) = -Σp(x, y) lnp(x, y)
H(X, Y) - H(Y)
表示(X, Y)发生所包含的熵，减去Y单独发生包含的熵：在Y发生的前提下，X发生新带来的熵。
条件熵：H(X|Y)
（三）相对熵/交叉熵/K-L散度
相对熵，又称互熵，交叉熵，鉴别信息，Kullback-Leible散度等。
相对熵具有如下性质：
相对熵可以度量两个随机变量的距离；
一般不具有对称性，即D(p||q) ≠ D(q||p)，当且仅当p = q, 则相对熵为0，二者相等;
D(p||q) >= 0, D(q||p) >= 0.
那么，我们应该使用D(p||q) 还是 D(q||p)呢？
假定已知随机变量P，求一个随机变量Q，使得Q尽量接近于P，这样我们可以使用P和Q的K-L来度量他们的距离。
假定使用KL(Q || P)，为了让距离最小，则要求P为0的地方，Q尽量为0。这样会得到比较瘦高的分布曲线；
假定使用KL(P || Q)，为了让距离最小，则要求P不为0 的地方，Q也尽量不为0。这样会得到比较矮胖的分布曲线。
（四）互信息
两个随机变量X，Y的互信息，定义为X，Y的联合分布和独立分布乘积的相对熵。
即： I(X, Y) = D(P(X, Y) || P(X)P(Y))
即：
可以通过简单的计算得到：
H(X|Y) = H(X) - I(X, Y),
互信息为0，则随机变量X和Y是互相独立的。
（五）各种熵之间的关系
H(X|Y) = H(X, Y) - H(Y); H(Y|X) = H(X, Y) - H(X) —— 条件熵的定义
H(X|Y) = H(X) - I(X, Y); H(Y|X) = H(Y) - I(X, Y)
I(X, Y) = H(X) - H(X|Y) = H(X) + H(Y) - H(X, Y) —— 也可以作为互信息的定义
H(X|Y) <= H(X)：
H(X)表示X的不确定度；H(X|Y)表示给定Y的情况下，X的不确定度。
如果X与Y完全独立，则二者相等（给不给Y对X能给出多少信息无关）；
而如果X与Y不是独立的，则给定Y之后会降低X的熵，即X的不确定性会降低。
用Venn图帮助记忆：
（六）最大熵模型
最大熵模型的原则：
承认已知事物（知识）；
对未知事物不做任何假设，没有任何偏见。
对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知条件，而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小。
因为这时概率分布的信息熵最大，所以人们把这种模型叫做“最大熵模型”（Maximum Entropy）。
最大熵模型一般是在给定条件下求条件熵，所以我们可以使用Lagrange乘子法来解决。
1）最大熵的一般模型
2）Lagrange函数为：
其中，含λi的第一个约束项表示我们的模型要能够很好的解释初始数据集，fi(x, y)表示我们选取的第i个特征；含ν0的第二个约束项表示概率加和为1.
p(x, y) = p(y | x) * p(x)，而p(x)是已知的，所以我们用p(x)_bar来表示已知量。
3）对p(y|x)求偏导
其中，为了计算方便，我们令ν0 = λ0 * p(x). 然后得到其最优解形式，如红框内所示。
4）归一化
上面通过求偏导得到的p*是没有经过归一化的，加上归一化因子zλ(x)。
5）与Logistic/SoftMax回归的对比
Logistic/SoftMax回归的后验概率形式：
最大熵模型的后验概率形式：
Logistic回归是统计学习中的经典分类方法，可以用于二类分类也可以用于多类分类。
最大熵模型由最大熵原理推导出来，最大熵原理是概率模型学习或估计的一个准则，最大熵原理认为在所有可能的概率模型的集合中，熵最大的模型是最好的模型，最大熵模型也可以用于二类分类和多类分类。
Logistic回归模型与最大熵模型都属于对数线性模型。
逻辑回归跟最大熵模型没有本质区别。逻辑回归是最大熵对应类别为二类时的特殊情况
指数簇分布的最大熵等价于其指数形式的最大似然。
二项式分布的最大熵解等价于二项式指数形式(sigmoid)的最大似然；
多项式分布的最大熵等价于多项式分布指数形式(softmax)的最大似然。
求最大熵的问题最后可以化成MLA的问题做，两者的出发点不同，但是最终的形式是一样的。
中心极限定理：一组有确定方差的独立随机变量的和趋近于高斯分布。即给定随机变量X和Y，则X+Y比X或Y更接近于高斯分布。
【总结】
根据最大似然估计的正确性可以断定：最大熵的解（无偏的对待不确定性）是最符合样本数据分布的解，即最大熵模型的合理性；
信息熵可以作为概率分布集散程度的度量，使用熵的近似可以推导出gini系数，在统计问题、决策树等问题中有重要应用；
熵：不确定性的度量；
似然：与知识的吻合程度；
最大熵模型：对不确定度的无偏分配；
最大似然估计：对知识的无偏理解。
原文地址：http://www.cnblogs.com/little-YTMM/p/5582271.html