线性代数-方程组和矩阵消元

方程组：

求解线性方程组的过程中
才慢慢产生矩阵等等抽象的概念

有二元方程组：

2X - Y = 0

-X +2Y = 3

可以得到矩阵与向量如下

A X =b

（矩阵 x 向量）=（向量）

根据方程可以算出row picture(行图)

通过画图即可求出方程（二元方程=线的交点、三维方程=三个平面之间的交点）

column picture(列图)

找出向量之间的线性组合即可求出右边向量

当1倍的向量1+2倍的向量2 = 右侧向量

解得X=1,Y=2

当变为三元方程时，row picture变得更为复杂

我们看看colunm picture：

列出各个分量：

显然得出Z的向量等于右侧向量，所以可得X=0,Y=0,Z=1

问题：对于三元方程（三个左侧向量相加=右侧向量）三个向量的线性组合能否充斥整个三维平面？

当左侧向量都在一个平面的时候，右侧向量只有也在该平面时，才有解，称为奇异

反之为非奇异、可逆矩阵

矩阵相乘 A x = b

column思维：

点乘法（row思维）：

1x(2)+2x(5) = 12

1x(1)+2x(3) = 7

矩阵消元：

基于方程组消元的问题（通过将方程组系数放大缩小减去另外一个方程组，从而消去未知数）

所有的计算机都是使用消元法解方程组

由方程组得到矩阵A（如果A是一个“好矩阵”，则消元法奏效）

同样的视为Ax = b(x为未知数向量，b为方程组右侧向量)

（在MATLAB中先不管右侧向量）

首先，消去方程二中的X，在这之前需要在矩阵A（1,1）选为主元使得（2,1）变为0

开始消元后得到（在MATLAB中会继续将（3，1）消为0）

同理开始递归使得（3,2）消0，得记为U矩阵，同时得到三个主元1,2,5（0不能作为主元）

行列式=主元的积=10

消元的目的就是将A变为U

但是假设最开始的A(1,1)变为0，由于主元不能为0，此时只需要把行变换即可，

但是假设在做到消第三元的时候（3,3）恰好为0，这说明方程无解，A矩阵不可逆

此时执行back-substitute（回代）

讲右向量加入

成为增广矩阵，因此消元中的矩阵变为，其中矩阵U中右侧称为c

c是b的最终结果，就像U是A的最终结果

此时反向求解

引出矩阵的变换概念：

矩阵x列向量（得到3行一列）得到列的线性组合

行向量x矩阵（得到一行3列）得到行的线性组合

问题：在矩阵消元中乘什么矩阵能够得到消元后的下一个矩阵？

*通过行思维：第一行和第三行不变，则第一行为100第三行为001*

（单位矩阵矩阵乘单位矩阵=原矩阵）

此时该矩阵称为初等矩阵，记为E21(将2,1变为0)

同理：

得：（矩阵满足结合律但是不满足交换律，位置不能换）

矩阵的行变换(交换1行和2行)

该矩阵称为P（置换矩阵），对单位矩阵进行行变换得到置换矩阵

矩阵的列变换（变换列1列2）

此时置换矩阵为右边

所以矩阵相乘的顺序不能改变

逆矩阵：

*通过找到一个矩阵，取消某次消元*