高等数学-【3.1-4】微分中值定理与导数的应用

费马引理：

设函数 f(x) 在点 x0 的某邻域 U(x0) 内有定义，并且在 x0 处可导，如果对任意 x∈U(x0) 有 f(x)<f(x0) ,
则有
f′(x0)=0

罗尔定理：

如果 f(x) 满足：
1. 在闭区间 [a,b] 上连续
2. 在开区间 (a,b) 上可导
3. 在端点处的函数值相等 f(a)=f(b)
那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a<ξ<b) 使得 f′(ξ)=0

罗尔定理一个不好的地方就条件中端点处的函数值必须相等，拉格朗日中值定理就没有这个问题

拉格朗日中值定理

如果函数 f(x) 满足：
1. 在 [a,b] 上连续
2. 在 (a.b) 上可导
那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a<ξ<b) 使得 f(a)−f(b)=f′(ξ)(a−b)

柯西中值定理

设函数 f(x)，g(x) 满足：
1. 在 [a,b] 内连续
2. 在 (a,b) 内可导
3. 对任意 x∈(a,b)g′(x)≠0
那么在(a,b)内必存在有一点 ξ=(a,b) 使得 [f(a)−f(b)]/[g(a)−g(b)]=f′(ξ)/g(ξ) 成立

洛必塔法则

洛必塔法则的前提：未定式

未定式：

未定式是指如果当 x→x0 (或者 x→∞ )时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或者趋于无穷大，那么极限 lim[f(x)/g(x)] ( x→x0 或者 x→∞ )可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为未定式

洛必塔法则：

1)
1. 当 x→x0 时，函数 f(x) 及 F(x) 趋近于0；
2. 当 |x| >N时， f′(x) 与 F′(x) 均存在且 F′(x)≠0
3. limx→x0f′(x)F′(x) 存在或为无穷大。
那么

limx→x0f(x)F(x)=limx→x0f′(x)F′(x)

2)
1. 当 x→∞ 时，函数 f(x) 及 F(x) 趋近于0；
2. 当 |x| >N时， f′(x) 与 F′(x) 均存在且 F′(x)≠0
3. limx→∞f′(x)F′(x) 存在或为无穷大。
那么

limx→∞f(x)F(x)=limx→∞f′(x)F′(x)

泰勒公式

如何理解泰勒公式