karatsuba算法——（分治算法）

一、     karatsuba multiplication algorithm

（1）Karatsuba算法主要应用于两个大数的相乘，原理是将大数分成两段后变成较小的数位，然后做3次乘法，并附带少量的加法操作和移位操作。

现有两个大数，x，y。

首先将x，y分别拆开成为两部分，可得x1，x0，y1，y0。他们的关系如下：

x = x1 * 10^m + x0；

y = y1 * 10^m + y0。其中m为正整数，m < n，且x0，y0 小于 10^m。

那么 xy = (x1 * 10^m + x0)(y1 * 10^m + y0)

=z2 * 10^2m + z1 * 10^m + z0，其中：

z2 = x1 * y1；

z1 = x1 * y0 +x0 * y1；

z0 = x0 * y0。

此步骤共需4次乘法，但是由Karatsuba改进以后仅需要3次乘法。因为：

z1 = x1 * y0+ x0* y1

z1 = (x1 + x0) *(y1 + y0) - x1 * y1 - x0 * y0，

故z1 便可以由一次乘法及加减法得到。

（2）复杂度：

普通乘法的复杂度是n2，而Karatsuba算法的复杂度仅为3nlog3≈3n1.585（log3是以2为底的）

#include
#include
#include 
using namespace std;

//找到x的位数  
int size(long x){  
    int num=0;  
    do{  
        num++;  
        x=x/10;  
    }while(x);  
    return num;  
}  

long Karatsuba(long x,long y)
{
	if(x<10 || y<10) return x*y;
	else{
		long m , x1 , x0 ,y1 , y0 , z0 , z1 , z2 ;
		m=max(size(x),size(y))/2;
		x1 = x/(int)pow(10,m);
		x0 = x-x1*(int)pow(10,m);
		y1 = y/(int)pow(10,m);
		y0 = y-y1*(int)pow(10,m);
		z2 = Karatsuba(x1,y1);
		z0 = Karatsuba(x0,y0);
		z1 = Karatsuba((x1+x0),(y1+y0))-z2-z0;
		return z2*(int)pow(10,2*m)+z1*(int)pow(10,m)+z0;
	}
}

int main()
{
	long a , b;
	cin >> a >> b;
	cout << Karatsuba(a,b) << endl;
	return 0;
} 

参考：  http://baike.baidu.com/link?url=YCEEYyFGxpsPkMFUOnOgcvcyrlWV-23bEdqe-AmrHC2SSQyLmzDOX65NGyEeIjwZAJ6ypoQgpx9tYO8u-Rad6K7U8tKe_6Qx0r2a_9kkWohT19y7w2AWRk5DtwSLz-j6

http://blog.csdn.net/maoxunxing/article/details/41308247