数论-Fibonacci数列

先来考虑一个简单的问题，楼梯有n个台阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上两阶，一共有多少种上楼的方法？

这是一道计数问题。在没有思路时，不妨试着找规律。n=5时，一共有8种方法。

5=1+1+1+1+1

5=2+1+1+1

5=1+2+1+1

5=1+1+2+1

5=1+1+1+2

5=2+2+1

5=2+1+2

5=1+2+2

其中有5种方法第1步走了1阶，3种方法第1步走了2阶。没有其他可能了。假设f(n)为n个台阶的走法总数。把n个台阶的走法分成两类。

第1类：第一步走1阶，剩下还有n-1阶要走，有f(n-1)种方法。

第2类：第一步走2阶，剩下还有n-2阶要走，有f(n-2)种方法。

这样，就得到了递推式：f(n)=f(n-1) + f(n-2)。不要忘记比边界情况：f(1)=1,f(2)=2,当然，也可以认为边界是f(0)=f(1)=1.把f（n）的前几项列出，1,1,2,3,5,8，...

再例如，把雌雄各一的一对新兔子放入养殖场中。每只雌兔从第2个月开始每月产雌雄各一的一对新兔子。试问第n个月后养殖场中共有多少对兔子？

还是先找找规律。

第1个月：一对新兔子r1，用小写字母表示新兔子。

第2个月：还是一对新兔子，不过已经长大，具备生育能力了，用大写字母R1表示。

第3个月：R1生了一对新兔子r2，一共两对。

第4个月，R1又生了一对r3，一共3对，另外，r2长大了，变成R2.

第5个月，R1和R2各生一对，记为r4和r5，共5对。此外，r3长成R3.

第6个月，R1、R2和R3各生一对，记为r6-r8，共8对，同时r4到r5长大。

.....

把这些数排列起来，1,1,2,3,5,8,....和刚才的一模一样！事实上，可以直接推导出递推关系f(n) = f(n-1) + f(n-2)；第n个月的兔子由两部分组成，一部分是上个月就有的兔子，一部分是上一个月有生育能力的兔子。前一部分等于f(n-1)，后一部分等于f(n-2)（第n-1个月时具有生育能力的兔子数就等于第n-2个月的兔子总数）。根据加法原理，f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

满足F1=F2=1， Fn=Fn-1+Fn-2的数列称为Fibonacci数列，它的前若干项是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,......