法法塔！【fft&fwt】

法法塔大法好ww

窝太菜了TAT，写着玩，表喷ww

FFT：

求

Ci=∑AjBi−j

多项式两种表示方法：点值表示法、系数表示法
如果用点值表示法的话，那么乘法就是 O(n) 的

FFT就是把系数表示变为点值表示，相乘后再变回系数表示，并且可以做到 O(nlogn)

单位复根: w[n] ，即 (w[n])n=1
窝们将 (w[n])k 记为 w[n]k

这里取的点就是 w[n]0,w[n]1,⋯,w[n]n−1

FFT : yk=∑n−1i=0ai(w[n]k)i
FFT −1 : ak=1n∑n−1i=0yi(w[n]−k)i
所以做IFFT的时候就只要用 w[n]−k 来替换 w[n]k 就好了QAQ

考虑如何求得 yi
令
y[0](x)=a0+a2x+⋯+an−2xn−22
y[1](x)=a1+a3x+⋯+an−1xn−22
则
y=y[0](x2)+xy[1](x2)
可以得到
yk=y[0]k+w[n]ky[1]k
yk+n2=y[0]k−w[n]ky[1]k

然后就可以分治搞了嘤QAQ

将变换后的系数用二进制表示，发现就是0,1,2，…n-1的倒序，所以就可以变了啊QAQ

FWT：

求

Ci=∑j⊕k=iAjBk

（ ⊕ 代表一个位运算符）

同样考虑构造一种变换方式使得A、B能直接相乘

既然是位运算，那么每一位相互独立。。。

下一步当然是%pls辣ovo

异或

tf(A)=(tf(A0)+tf(A1)),tf(A0)−tf(A1))utf(A)=(utf(A0+A12),utf(A0−A12))

与

tf(A)=(tf(A0)+tf(A1),tf(A1))utf(A)=(utf(A0)−utf(A1),utf(A1))

或

tf(A)=(tf(A0),tf(A1)+tf(A0))utf(A)=(utf(A0),utf(A1)−utf(A0))

至于板子么。。当然是A+B啦！23333