《数值分析》总结

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标签：数值分析

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第一章 误差

• 绝对误差 e∗=x∗−x e ∗ = x ∗ − x
• 相对误差 e∗r=e∗x e r ∗ = e ∗ x ，常取 e∗r=e∗x∗ e r ∗ = e ∗ x ∗
• 误差限/绝对误差限 ϵ∗≥e∗ ϵ ∗ ≥ e ∗ ，绝对误差的上限
• 相对误差限 ϵ∗r≥e∗r→e∗ ϵ r ∗ ≥ e r ∗ → e ∗ ，相对误差的上限
• 误差的四个类型
  
  • 数学模型和实际问题的误差： 模型误差
  • 测量物理量(e.g. 长度，温度)时的误差： 观测误差
  • 计算方法的误差：截断误差
  • 计算结果在计算机中因字长限制保存时出现的误差：舍入误差
• 一个计算方法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的。 →  →   条件数
  
  • 误差的四则运算
• 加减法： ϵ(x∗1±x∗2)=ϵ(x∗1)±ϵ(x∗2) ϵ ( x 1 ∗ ± x 2 ∗ ) = ϵ ( x 1 ∗ ) ± ϵ ( x 2 ∗ )
• 乘法： ϵ(x∗1×x∗2)=|x∗1×ϵ(x∗2)+|x∗2|×ϵ(x∗1) ϵ ( x 1 ∗ × x 2 ∗ ) = | x 1 ∗ × ϵ ( x 2 ∗ ) + | x 2 ∗ | × ϵ ( x 1 ∗ )
• 除法： ϵ(x∗1x∗2)=|x∗1|×ϵ(x∗2)+|x∗2|×ϵ(x∗1)|x∗2|2 ϵ ( x 1 ∗ x 2 ∗ ) = | x 1 ∗ | × ϵ ( x 2 ∗ ) + | x 2 ∗ | × ϵ ( x 1 ∗ ) | x 2 ∗ | 2

第二章 插值法

• [一般的]多项式插值： P(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn P ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n
• 牛顿插值： N(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+… N ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x 1 ] ( x − x 0 ) + f [ x 0 , x 1 , x 2 ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) + …
• 拉格朗日插值： L(x)=(x−x1)(x−x2)…(x0−x1)(x0−x2)…f(x0)+(x−x0)(x−x2)(x−x3)…(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)…f(x1)+… L ( x ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) … ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) … f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) … ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) ( x 1 − x 3 ) … f ( x 1 ) + …
  L(x)=∑i=1n(x−x0)(x−x1)…(x−xi−1)(x−xi+1)…(x−xn)(xi−x0)(xi−x1)…(xi−xi−1)(xi−xi+1)…(xi−xn)f(xi) L ( x ) = ∑ i = 1 n ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) … ( x − x i − 1 ) ( x − x i + 1 ) … ( x − x n ) ( x i − x 0 ) ( x i − x 1 ) … ( x i − x i − 1 ) ( x i − x i + 1 ) … ( x i − x n ) f ( x i )
• [牛顿插值法]均差表构造

xi x i	yi y i	一阶均差	二阶~	三阶	… …
x0 x 0	y0 y 0
x1 x 1	y1 y 1	f[x0,x1]=y1−y0x1−x0 f [ x 0 , x 1 ] = y 1 − y 0 x 1 − x 0
x2 x 2	y2 y 2	f[x1,x2]=y2−y1x2−x1 f [ x 1 , x 2 ] = y 2 − y 1 x 2 − x 1	f[x0,x1,x2]=f[x1,x2]−f[x0,x1]x2−x0 f [ x 0 , x 1 , x 2 ] = f [ x 1 , x 2 ] − f [ x 0 , x 1 ] x 2 − x 0
… …	… …	… …	… …	… …	… …

第三章 函数逼近

• 权函数

  ∫baρ(x)g(x)dx ∫ a b ρ ( x ) g ( x ) d x

• 函数内积

  (f(x),g(x))=∫baρ(x)f(x)g(x)dx ( f ( x ) , g ( x ) ) = ∫ a b ρ ( x ) f ( x ) g ( x ) d x
  • 两函数内积为0，则称它们在 [a,b] [ a , b ] 上带权 ρ(x) ρ ( x ) 正交

• 正交函数族：函数族 ϕ0(x),ϕ1(x),... ϕ 0 ( x ) , ϕ 1 ( x ) , . . . 满足

  (ϕj,ϕk)=∫baρ(x)ϕj(x)ϕk(x)dx=0(j≠k)|Ak>0(j=k) ( ϕ j , ϕ k ) = ∫ a b ρ ( x ) ϕ j ( x ) ϕ k ( x ) d x = 0 ( j ≠ k ) | A k > 0 ( j = k )

• 勒让德多项式

  P0(x)=1,Pn(x)=12nn!dndxn(x2−1)n P 0 ( x ) = 1 , P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n ( x 2 − 1 ) n

第四章 数值积分方法

• 代数精度：如果某个求积公式对次数不超过m的多项式均能准确成立，但对m+1次不准确成立，则称其具有m次代数精度

• 梯形公式： ∫baf(x)dx=b−a2[f(a)+f(b)] ∫ a b f ( x ) d x = b − a 2 [ f ( a ) + f ( b ) ]

• 矩形公式： ∫baf(x)dx=b−a[f(a+b2)] ∫ a b f ( x ) d x = b − a [ f ( a + b 2 ) ]

• 牛顿-科斯特公式

  • n n 次的牛顿-科斯特公式至少具有 n n 次代数精度;
  • 当 n n 为偶数时，则至少具有 n+1 n + 1 次代数精度。
  • 二阶为辛普森公式，系数： b−a6→1→4→1 b − a 6 → 1 → 4 → 1
  • 四阶系数： b−a90→7→32→12→32→7 b − a 90 → 7 → 32 → 12 → 32 → 7

• 辛普森公式： S=b−a6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)] S = b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ]

  • 余项： R[f]=−b−a180(b−a2)4f(4)(η) R [ f ] = − b − a 180 ( b − a 2 ) 4 f ( 4 ) ( η )

• 复合求积公式(令 h=b−a h = b − a )

  • 复合梯形： Tn=h2[f(a)+2∑n−1k=1f(xk)+f(b)] T n = h 2 [ f ( a ) + 2 ∑ k = 1 n − 1 f ( x k ) + f ( b ) ] ，误差为 O(h2) O ( h 2 )
  • 复合辛普森： Sn=h6[f(a)+4∑n−1k=0f(xk+12)+2∑n−1k=1f(xk)+f(b)] S n = h 6 [ f ( a ) + 4 ∑ k = 0 n − 1 f ( x k + 1 2 ) + 2 ∑ k = 1 n − 1 f ( x k ) + f ( b ) ] ，误差阶 O(h4) O ( h 4 )

• 高斯求积公式

• 高斯-勒让德公式

第五章 消元

第六章 迭代法

• A=D−L−U A = D − L − U
  
  • A  A   为原系数矩阵
  • D  D   为  A    A   的对角线元素构成的矩阵(diagonal?)
  • L  L   为  A    A   的下三角矩阵(lower?)
  • U  U   为  A    A   的上三角矩阵(upper?)
• 雅克比迭代，迭代矩阵  B=D−1(L+U)   B = D − 1 ( L + U )
• 高斯-赛德尔迭代，迭代矩阵  G=(D−L)−1U   G = ( D − L ) − 1 U
• 迭代收敛充要条件: 迭代矩阵谱半径  ρ(B)<1   ρ ( B ) < 1
• 迭代收敛充分条件: 迭代矩的某个范数  ||B||<1   | | B | | < 1

第七章 非线性方程的数值解法

• 不动点存在且唯一的条件：
  
  • C[a,b]→a≤φ(x)≤b C [ a , b ] → a ≤ φ ( x ) ≤ b
  • ∃L<1,|φ(x)−φ(y)|≤L|x−y| ∃ L < 1 , | φ ( x ) − φ ( y ) | ≤ L | x − y |
• 局部收敛： φ(x) φ ( x ) 在 x∗ x ∗ 的某个邻连续，并且 |φ′(x∗)|<1 | φ ′ ( x ∗ ) | < 1
• 若 xk+1xpk→C,C≠0 x k + 1 x k p → C , C ≠ 0 ，则称迭代过程是 p p 阶收敛的。
  
  • p=1  p = 1   称为线性收敛
  • p>1  p > 1   称为超线性收敛
  • p=2  p = 2   称为平方收敛
  • 若 φ′(x∗)=φ″(x∗)=⋯=φ(n−1)(x∗)=0,φ(n)(x∗)≠0 φ ′ ( x ∗ ) = φ ″ ( x ∗ ) = ⋯ = φ ( n − 1 ) ( x ∗ ) = 0 , φ ( n ) ( x ∗ ) ≠ 0 ，则该迭代过程在 x∗ x ∗ 附近是 p p 阶收敛的
  • 迭代法误差估计：若有不动点 x∗ x ∗ ，则误差估计为 |xk−x∗|≤Lk1−L|x1−x0| | x k − x ∗ | ≤ L k 1 − L | x 1 − x 0 |
• 二分法
  
  • 当求出有根区间为 (a,b) ( a , b ) 时，误差为 |b−a|2 | b − a | 2
• 牛顿法
  
  • φ(x)=x−f(x)f′(x) φ ( x ) = x − f ( x ) f ′ ( x ) , 是平方收敛的
  • 简化牛顿法： φ(x)=x−f(x)f′(x0) φ ( x ) = x − f ( x ) f ′ ( x 0 ) ，线性收敛。
  • 牛顿下山法： φ(x)=x−λf(xk)f′(xk) φ ( x ) = x − λ f ( x k ) f ′ ( x k ) ， λ λ 称为下山因子，初始取 λ=1 λ = 1 ，逐次减半直到满足 |f(xk+1)|<|f(xk)| | f ( x k + 1 ) | < | f ( x k ) |
• 弦截法
  
  • φ(x)=x−f(x)f(xk)−f(xk−1)xk−xk−1 φ ( x ) = x − f ( x ) f ( x k ) − f ( x k − 1 ) x k − x k − 1 ，用差商代替牛顿法中的导数。超线性收敛( p=1+5√2≈1.618 p = 1 + 5 2 ≈ 1.618 )

第九章 常微分方程处置问题数值解法

• 欧拉法： yn+1=yn+h∗f(xn,yn) y n + 1 = y n + h ∗ f ( x n , y n )
• 改进欧拉法
  
  • 预测： y′n+1=yn+h∗f(xn,yn) y n + 1 ′ = y n + h ∗ f ( x n , y n )
  • 校正： yn+1=yn+h2∗[f(xn,yn)+f(xn+1,y′n+1)] y n + 1 = y n + h 2 ∗ [ f ( x n , y n ) + f ( x n + 1 , y n + 1 ′ ) ]
• R-K法
  
  • 二阶中点： yn+1=yn+h∗(f(xn,yn)+f(xn+h2,yn+h2f(xn,yn)) y n + 1 = y n + h ∗ ( f ( x n , y n ) + f ( x n + h 2 , y n + h 2 f ( x n , y n ) )
  • 二阶休恩： yn+1=yn+h4(K1+3K2) y n + 1 = y n + h 4 ( K 1 + 3 K 2 )
    
    • K1=f(xn,yn) K 1 = f ( x n , y n )
    • K2=f(xn+23h,yn+23hK1) K 2 = f ( x n + 2 3 h , y n + 2 3 h K 1 )