最小生成树（minimum spanning tree）问题的两种解法

最小生成树实际上就是最小连通图，找最小生成树就是找权值和最小连通图。

以下题为例：

城市公交网建设问题

【问题描述】

　　有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少？

【输入格式】

    n（城市数，1<=n<=100）

　　e（边数）

　　以下e行，每行3个数i,j,wij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。

【输出格式】

　　n-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。

【输入样例】

　　5 8

　　1 2 2

　　2 5 9

　　5 4 7

　　4 1 10

　　1 3 12

　　4 3 6

　　5 3 3

　　2 3 8

【输出样例】

　　　1  2

　　　2  3

　　　3  4

　　　3  5

一．Prim算法

原理：

设G=(V，E)是一个有向连通图

U是顶点集V的一个子集

如果：

1、边(u，v) ， u∈U且v∈(V-U)，一个顶点在U中、另一个端点不在U中

2、(u，v)是满足条件1最小权值的边

那么

一定存在G的一棵最小生成树包含(u，v)

这是基本概念，由上证明可知，在（V-U）集合中，到U集合距离最小的点，必定在最小生成树中。因此该点到U的边必定在最小生成树中。

•          初始令U={v0}(v0 ÎV), TE={}

•          在所有uÎU, vÎV-U的边(u,v)ÎE中，找一条权最小的边(u0,v0)

•          将(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U

•          重复上述操作直至U等于V

•          T=(V,{TE})为N的最小生成树

如何表示集合U与集合V-U？

可以使用vis[]数组

vis[i]==1 表示在集合U中

vis[i]==0 表示在集合V-U中

 

如何来找符合条件边？

辅助数组：minn[]

minn[i]用于记录节点i到达点集U的最短权值

实际操作上会用到一点类似于“松弛”算法的思想，先将所有点距离U的距离定为正无穷，随意选一个点，进入U，将他周围的点更新，再遍历minn，找到最小边的点，将其加入U重复上述步骤直至U中包含所有点。

此外，我们还可以替换最小生成树的边来生成次小生成树，枚举相差的边，然后替换最小树中该边两端点路程中最长的那条边。

 

二．Kruskal

这种算法相对简单，复杂度也较低，主要运用了并查集的思想，使用连通分量判断（即father是否相同）

①    初始G(V, {})，即包含所有节点，边为空

 

①    将原图中所有的边按权值从小到大排序

 

①    从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中

 

①    重复3，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中