Jacobi迭代法的python实现

设有线性方程组Ax=b，其中n阶矩阵A=（aij）使非奇异矩阵
将A分解为A=M-N，因而Mx=Nx+b，求解Ax=b转化为求解x=M的逆Nx+M的逆b
可构造一阶梯定常迭代法x(k+1)=Bx(k)+f
令A=D-L-U，其中D是有A的主对角元组成的对角矩阵，L是A的下三角矩阵每一行乘以-1，U是A的上三角矩阵每一行乘以-1
Jacobi迭代法中，令M=D，A=D-N，因而B=M的逆N=M的逆（M-A）=D的逆*(L+U)
f=D的逆b
确定初值x0，开始迭代
若x最终收敛于x，则线性方程组有解x*，否则无解
确定需要的绝对误差限或相对误差限e，确定相应的迭代次数

下面给出一个例子
矩阵A
10.0 3.0 1.0
2.0 -10.0 3.0
1.0 3.0 10.0
b=(14.0,-5.0,14.0)’
要求绝对误差限e=0.00001即精确到小数点后5位
代码如下

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Feb 13 08:09:46 2019

@author: 鹰皇
"""

#jacobi迭代法
import numpy as np
A=[[10.0,3.0,1.0],[2.0,-10.0,3.0],[1.0,3.0,10.0]]
b=[[14.0,-5.0,14.0]]

def get_base(A):#获得一个基，在基上修改
    base=list(np.zeros((len(A),len(A))))
    D=[]
    for i in base:
        D.append(list(i))
    return D

def get_D(A):#获得对角矩阵D
    D=get_base(A)
    for i in A:
        D[A.index(i)][A.index(i)]=A[A.index(i)][A.index(i)]
    return D

def get_LU(A,D):#获得L+U
    AA=np.array(A)
    DD=np.array(D)
    LLUU=DD-AA
    LU=[]
    for i in LLUU:
        LU.append(list(i))
    return LU

def matrix_to_list(x):#将矩阵转换为列表的函数，numpy中应当有这一函数
    d=[]
    ans=[]
    for i in x:
        d.append(i.tolist())
    for i in d:
        ans.append(i[0])
    return ans

def roll(A,b,x0):#主循环结构
    D=get_D(A)
    LU=np.mat(get_LU(A,D))
    D=np.mat(get_D(A))
    B=D.I*LU
    b1=np.mat(b).T
    f=D.I*b1
    x=np.mat(x0).T
    y=B*x+f
    return matrix_to_list(y.T)
x1=[[1,1,2]]
x0= roll(A,b,x1)

def main(A,b,x0,e):#输入系数矩阵，方程组右端b，初始值x0，以及需要的绝对误差限
    n=0
    ans=[]
    ans.append(x1)
    ans.append(x0)
    ans1=[]
    ans1.append(x1[0])
    ans1.append(x0[0])
    while abs(ans[-1][0][1]-ans[-2][0][1])>e:
        n=n+1
        x0=roll(A,b,x0)
        ans.append(x0)
    for i in ans:
        ans1.append(i[0])
    return ans1,n#输出迭代结果和迭代次数

e=0.00001
print main(A,b,x0,e)