@loj - 3022@ 「CQOI2017」老 C 的方块

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@description@

老 C 是个程序员。

作为一个懒惰的程序员,老 C 经常在电脑上玩方块游戏消磨时间。游戏被限定在一个由小方格排成的 R 行 C 列网格上,如果两个小方格有公共的边,就称它们是相邻的,而且有些相邻的小方格之间的公共边比较特殊。
特殊的公共边排列得有很强的规律。首先规定,第 1 行的前两个小方格之间的边是特殊边。然后,特殊边在水平方向上每 4 个小方格为一个周期,在竖直方向上每 2 个小方格为一个周期。所有的奇数列与下一列之间都有特殊边,且所在行的编号从左到右奇偶交替。

下图所示是一个 R = C = 8 的网格,蓝色标注的边是特殊边。
首先,在第 1 行,第 1 列和第 2 列之间有一条特殊边。因为竖直方向周期为 2,所以所有的奇数行,第 1 列和第 2 列之间都有特殊边。因为水平方向周期为 4,所以所有奇数行的第 5 列和第 6 列之间也有特殊边,如果网格足够大,所有奇数行的第 9 列和第 10 列、第 13 列和第 14 列之间都有特殊边。
因为所有的奇数列和下一列之间都有特殊边,所以第 3 列和第 4 列、第 7 列和第 8 列之间也有特殊边,而所在行的编号从左到右奇偶交替,所以它们的特殊边在偶数行。如果网格的规模更大,我们可以用同样的方法找出所有的特殊边。

@loj - 3022@ 「CQOI2017」老 C 的方块_第1张图片

网格的每个小方格刚好可以放入一个小方块,在游戏的一开始,有些小方格已经放上了小方块,另外的小方格没有放。
老 C 很讨厌下图所示的图形,如果他发现有一些小方块排列成了它讨厌的形状(特殊边的位置也要如图中所示),就很容易弃疗,即使是经过任意次旋转、翻转后排列成讨厌的形状,老 C 也同样容易弃疗。

为了防止弃疗,老 C 决定趁自己还没有弃疗,赶紧移除一些格子里小方块,使得剩下的小方块不能构成它讨厌的形状。但是游戏里每移除一个方块都是要花费一些金币的,每个方块需要花费的金币有多有少参差不齐。老 C 当然希望尽可能少的使用游戏里的金币,但是最少要花费多少金币呢?老 C 懒得思考,就把这个问题交给你了。

输入格式
第一行有 3 个正整数 C, R, n,表示 C 列 R 行的网格中,有 n 个小方格放了小方块。
接下来 n 行,每行 3 个正整数 x, y, w,表示在第 x 列第 y 行的小方格里放了小方块,移除它需要花费 w 个金币。保证不会重复,且都在网格范围内。

输出格式
输出一行,包含一个整数,表示最少花费的金币数量。

样例
样例输入 1
2 2 4
1 1 5
1 2 6
2 1 7
2 2 8
样例输入 1
5
样例输入 2
3 3 7
1 1 10
1 2 15
1 3 10
2 1 10
2 2 10
2 3 10
3 1 10
样例输出 2
15
数据范围与提示
1 <= C, R, n <= 10^5, 1 <= w <= 10^4。

@solution@

题意绕晕人.jpg。
但实际上有用的信息全在图片里面 2333。

假如第 x 列第 y 行的 (x, y) 与 (x + 1, y) 同时存在,且它们之间有特殊边(即图片上的蓝色边),则必须要从如下的几种选择中选择一种:
(1)删除 (x, y) 或 (x + 1, y)(这个地方显然是选择删除费用较小的那个)。
(2)删除 (x, y) 周围除了 (x + 1, y) 以外相邻的 3 个 (x - 1, y), (x, y - 1), (x, y + 1)(如果它们存在)。
(3)删除 (x + 1, y) 周围除了 (x, y) 以外相邻的 3 个 (x + 2, y), (x + 1, y - 1), (x + 1, y + 1)(如果它们存在)。

“必须从几种选择中选择一种” 并且求最小花费,联想到最小割。

考虑将那些与特殊边不相邻的点拿出来,进行黑白染色(这里的染色不是平常的相邻染成异色,而是上面所说的 (x, y) 周围的三个点染成同色,(x + 1, y) 周围三个点染成同色,且 (x, y) 与 (x + 1, y) 周围的点为异色)。
将源点连黑点,容量为题目中所说的 w;将白点连汇点,容量为题目中所说的 w。

假如第 x 列第 y 行的 (x, y) 与 (x + 1, y) 同时存在,则 (x, y) 和 (x + 1, y) 之间连边,容量为 min(w1, w2)(分别表示两个格子删除的费用),方向看它们周围的格子颜色是什么:如果 (x, y) 与黑色相邻则 (x, y) -> (x + 1, y);否则 (x + 1, y) -> (x, y)。
然后周围的黑点向它相邻的点连,它们向周围的白点连边,容量都为 inf。

可以发现这样连出来是可以满足我们所需要的限制。
不要问我为什么 10^5 跑得过,问就是形而上学。

@accepted code@

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef pair pii;
const int MAXN = 100000;
const int MAXV = 2*MAXN;
const int MAXE = 20*MAXV;
const int INF = int(1E9);
const pii d1[] = {make_pair(0, 1), make_pair(0, -1), make_pair(1, 0)};
const pii d2[] = {make_pair(0, 1), make_pair(0, -1), make_pair(-1, 0)};
struct Graph{
    struct edge{
        edge *nxt, *rev;
        int to, cap, flow;
    }edges[MAXE + 5], *adj[MAXV + 5], *ecnt;
    int s, t, d[MAXV + 5], vd[MAXV + 5];
    void init() {ecnt = &edges[0];}
    void addedge(int u, int v, int c) {
        edge *p = (++ecnt), *q = (++ecnt);
        p->to = v, p->cap = c, p->flow = 0;
        p->nxt = adj[u], adj[u] = p;
        q->to = u, q->cap = 0, q->flow = 0;
        q->nxt = adj[v], adj[v] = q;
        p->rev = q, q->rev = p;
//      printf("! %d %d %d\n", u, v, c);
    }
    int aug(int x, int tot) {
        if( x == t ) return tot;
        int sum = 0, mind = t + 1;
        for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) {
            if( p->cap != p->flow ) {
                if( d[p->to] + 1 == d[x] ) {
                    int del = aug(p->to, min(tot - sum, p->cap - p->flow));
                    p->flow += del, p->rev->flow -= del, sum += del;
                    if( sum == tot || d[s] == t + 1 ) return sum;
                }
                mind = min(mind, d[p->to]);
            }
        }
        if( sum == 0 ) {
            vd[d[x]]--;
            if( vd[d[x]] == 0 ) {
                d[s] = t + 1;
                return sum;
            }
            d[x] = mind + 1;
            vd[d[x]]++;
        }
        return sum;
    }
    int max_flow(int _s, int _t) {
        s = _s, t = _t;
        int flow = 0;
        while( d[s] != t + 1 )
            flow += aug(s, INF);
        return flow;
    }
}G;
mapmp;
int C, R, n;
pii p[MAXN + 5]; int w[MAXN + 5];
int func(pii p) {
    if( p.second & 1 ) return (p.first - 1) % 4;
    else return (p.first - 1) % 4 + 4;
}
int main() {
    scanf("%d%d%d", &C, &R, &n), G.init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d%d", &p[i].first, &p[i].second, &w[i]), mp[p[i]] = i;
    int s = n + 1, t = n + 2;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int type = func(p[i]);
        if( type == 4 || type == 3 )
            G.addedge(s, i, w[i]);
        if( type == 5 || type == 2 )
            G.addedge(i, t, w[i]);
        if( type == 0 ) {
            if( mp.count(make_pair(p[i].first + 1, p[i].second)) ) {
                int j = mp[make_pair(p[i].first + 1, p[i].second)];
                G.addedge(i, j, min(w[i], w[j]));
                for(int k=0;k<3;k++)
                    if( mp.count(make_pair(p[j].first + d1[k].first, p[j].second + d1[k].second)) )
                        G.addedge(j, mp[make_pair(p[j].first + d1[k].first, p[j].second + d1[k].second)], INF);
                for(int k=0;k<3;k++)
                    if( mp.count(make_pair(p[i].first + d2[k].first, p[i].second + d2[k].second)) )
                        G.addedge(mp[make_pair(p[i].first + d2[k].first, p[i].second + d2[k].second)], i, INF);
            }
        }
        if( type == 6 ) {
            if( mp.count(make_pair(p[i].first + 1, p[i].second)) ) {
                int j = mp[make_pair(p[i].first + 1, p[i].second)];
                G.addedge(j, i, min(w[i], w[j]));
                for(int k=0;k<3;k++)
                    if( mp.count(make_pair(p[j].first + d1[k].first, p[j].second + d1[k].second)) )
                        G.addedge(mp[make_pair(p[j].first + d1[k].first, p[j].second + d1[k].second)], j, INF);
                for(int k=0;k<3;k++)
                    if( mp.count(make_pair(p[i].first + d2[k].first, p[i].second + d2[k].second)) )
                        G.addedge(i, mp[make_pair(p[i].first + d2[k].first, p[i].second + d2[k].second)], INF);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", G.max_flow(s, t));
}

@details@

注意!它题目中说的是!第 x 列第 y 行!!!
被这个题意卡到自闭。以为自己读懂了结果样例一看好像不大对。。。

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