BZOJ 3884: 上帝与集合的正确用法

BZOJ 3884: 上帝与集合的正确用法

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题目

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：
第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。
第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。
第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。
第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……
然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。
至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。
一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

Source

By PoPoQQQ

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题解

初入数论（作为一个患有公式恐惧症的我，表示很无奈，只想吐槽一句这些公式都TM什么啊！！！（滑稽.jpg））

首先，你得知道 当b≥ϕ(c)时

ab≡a(b mod ϕ(p))+ϕ(p)( mod p)

然后，就是根据这个公式把题目给出的数字转换成

f（x）=2222...mod p=2f(ϕ(p))+ϕ(p)

最后就不断递归直到 ϕ(1)=0 就可以停止了

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代码

#include
#include
#define LL long long
using namespace std;

LL t,n;
int s[10000005];

LL readln()
{
    LL x=0;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while ('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x;
}

LL ksm(LL x,LL y,LL p)
{
    LL ret=1;
    for (;y;y>>=1,x=(x*x)%p) if (y%2) ret=(ret*x)%p;
    return ret;
}

LL phi(LL x)
{
    LL ret=x;
    for (LL i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if (x%i==0) {
            while (x%i==0) x/=i;
            ret-=ret/i;
        }
    }
    if (x>1) ret-=ret/x;
    return ret;
}

LL calc(int x)
{
    if (s[x]>=0) return s[x];
    LL p=phi(x);
    s[x]=ksm(2,calc(p)+p,x);
    return s[x];
}

int main()
{
    t=readln();
    memset(s,-1,sizeof(s));
    s[1]=0;
    while (t--)
    {
        n=readln();
        printf("%lld\n",calc(n));
    }
    return 0;
}