ACM之路——算法模板（数学）
在说正事之前，先说说题外话，进集训队也有将近八个月，感觉这就是一个靠数学吃饭的地方，另外还需要努力，每一道题目你解决它所花的时间跟你的进步是成正比的，路还有那么长，不过今年就要参加省赛了，剩下的时间不多，赶紧补题去！！！
数学在比赛中占的比重比较大，主要是数论、公式、递推、组合、概率、矩阵、博弈等等，目前更新一部分的模板，另外一部分会马上更新，请大家不要着急。
一、简单数论、特殊公式
（1）素数判定
bool prime(int x)
{
for(int i=2;i*i<=maxn;i++) //降低时间复杂度
if(x%i==0)
return false;
return true;
}（2）筛法素数打表
void getprime(int n)
{
int k=0,ans[maxn];
memset(ans,0,sizeof(ans));
ans[0]=ans[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!ans[i])
for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
ans[j]=1; //标记变量
}
for(int i=2;i<=n;i++)
if(!ans[i]) //值为0的都是素数
ans[k++]=i;
ans[k]='\0';
for(int i=0;ans[i]!='\0';i++)
cout<" ";
cout< （3）唯一分解定理
void W(int n)
{
int k=0，s[maxn];
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(n%i==0)
{
while(n%i==0) //一定能保证i为素数
n/=i;
s[k++]=i;
}
}
for(int i=0;icout<" ";
cout< （4）欧拉公式
N(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)···（其中p1、p2为能被n整除的素因子）
void euler_phi(int n)
{
int sum=n;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(n%i==0)
{
sum=sum/i*(i-1);
while(n%i==0)
n/=i;
}
}
if(n>1)
sum=sum/n*(n-1);
cout<<sum<（5）GCD
int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b); //不断递归
}（6）扩展GCD（求出x,y，满足Ax+By=gcd(A,B) ）
int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=extend_gcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return r;
}（7）中国剩余定理（中国剩余定理 求出方程组x=a(i)(mod m(i))(0<=i
int CRT(int a[],int m[],int n)
{
int M=1;
for(int i=0;i*=m[i];
int ret=0;
for(int i=0;iint x,y;
int tm=M/m[i];
extend_gcd(tm,m[i],x,y);
ret=(ret+tm*x*a[i])%M;
}
return (ret+M)%M;
} （8）进制转换（x进制的数转换成y进制 ）
string transform(int x,int y,string s)
{
string res="";
int sum=0;
for(int i=0;iif(s[i]=='-')
continue;
if(s[i]>='0'&&s[i]<='9') //十进制以内
sum=sum*x+s[i]-'0';
else
sum=sum*x+s[i]-'A'+10; //十进制之外
}
while(sum)
{
char tmp=sum%y;
sum/=y;
if(tmp<=9)
tmp+='0';
else
tmp=tmp-10+'A';
res=tmp+res;
}
if(res.length()==0)
res="0";
if(s[0]=='-')
res='-'+res;
return res;
} （9）快速幂取模（求a的i次幂对n的模 ）
void quickpow_mod(int a,int i,int n)
{
int k=a%n,sum=1;
while(i)
{
if(i&1)
sum=sum*k%i;
k=k*k%a;
n>>=1;
}
cout<<sum<（10）星期计算（蔡勒公式 给定一个日期，求出这一天是星期几，返回ans，表示是星期(ans+1) ）
int whatday(int day,int mon,int year)
{
int ans;
if(mon==1||mon==2)
{
mon+=12;
year--;
}
if((year<1752)||(year==1752&&mon<9)||(year==1752&&mon==9&&day<3)) //当日期在1752年9月3日之前
ans=(day+2*mon+3*(mon+1)/5+year+year/4+5)%7;
else
ans=(day+2*mon+3*(mon+1)/5+year+year/4-year/100+year/400)%7;
return ans;
} （11）闰年判断
bool Isleap(int year)
{
if(year%400==0||year%100&&year%4==0)
return true;
return false;
}（12）日期计算
int leap(int y)
{
if(!y)
return 0;
return y/4-y/100+y/400;
}
int calc(int day,int mon,int year)
{
int res=(year-1)*day+leap(year-1);
int s[12]={31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
for(int i=1;is[i];
if(Isleap(year)&&mon>2)
res++;
res+=day;
return res;
}
void count_day(int da,int ma,int ya,int db,int mb,int yb)
{
int resa=calc(da,ma,ya);
int resb=calc(db,mb,yb);
cout<<abs(resa-resb)< 二、常见递推，特殊计数
（13）Catalan数（ 1,1,2,3,5,14,42,132,429,1430,4862,16796）
f(n)=f(2)*f(n-1)+f(3)*f(n-2)+...+f(n-1)*f(2) 边界是f[2]=f[3]=1;
void Catalan(int n)
{
long long count=1;
for(int i=1,j=2*n;i<=n;i++,j--)
count=count*j/i;
cout<<count/(n+1)<（14）第二类Stirling数、Bell数（结果b[n]对c取模 ）（1,2,5,15,52,203,877,140,147,975,当n=100时,b[n]=751）
#define c 1000
long long a[2005][2005]={1};
long long b[2005];
void Bell(int n,int c)
{
for(int i=1;i<=2000;i++)
{
a[i][0]=0;
a[i][i]=1;
for(int j=1;j1][j-1]+j*a[i-1][j])%c;
}
for(int i=1;i<=2000;i++)
{
b[i]=0;
for(int j=0;j<=i;j++)
b[i]=(b[i]+a[i][j])%c;
}
cout< （15）错排计数（给出n，求出1~n的错排个数占n个数全排列的百分比
错排公式：Dn=(1-1+1/2!-...+[(-1)^n]*1/n!)*n!)
void Cuopai(int n)
{
double sum,sign=1.0;
if(n==1)
sum=0;
else
{
sum=0;
long long k=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
k*=i;
sum=sum+sign/(k*1.0);
sign=-sign;
}
sum*=100;
}
printf(".2%%lf",sum);
}（16）全排列（字符串S字母的全排列输出 (可转化应用于数组)）
void Pailie(char s[])
{
int len=strlen(s);
sort(s,s+len);
do
{
cout<while(next_permutation(s,s+len));
} （17）三角形计数（从1~n任意选择三个数，并且保证三边长能够组成三角形）（0,1,3,7,13,22,34,50,70,95,125,161,203,252,308,372,444）
f(n)=f(n-1)+((n-1)*(n-2)/2-(n-1)/2)/2 边界是f[3]=0;
void TC(int n)
{
long long a[maxn];
a[3]=0;
for(i=4;i1]+((i-1)*(i-2)/2-(i-1)/2)/2;
cout< （18）折线分割平面（0,5,14,27,44,65,90,119,152,189,230,275,324,377,434）
f(n)=f(n-1)+4*(n-1))+1 边界f[1]=0;
void ZX(int n)
{
long long a[maxn];
a[1]=0;
for(int i=2;i<10005;i++)
a[i]=a[i-1]+4*(i-1)+1;
cout<（19）三色问题（3,6,6,18,50,66,126,258,510,1026,2046,4098,8190,16386,32766）
f(n)=f(n-1)+f(n-2)*2 边界f[0]=0;
void RPG(int n)
{
long long s[55];
s[0]=0;s[1]=3,s[2]=6;s[3]=6;
for(int i=4;i<=50;i++)
s[i]=s[i-1]+s[i-2]*2;
cout<（20）骨牌铺方格I（两层）（1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987）
f(n)=f(n-1)+f(n-2) 边界f[0]=0;
void GPI(int n)
{
long long s[50];
s[0]=0,s[1]=1,s[2]=2;
for(int i=3;i<50;i++)
s[i]=s[i-1]+s[i-2];
cout<（21）骨牌铺方格II（三层）（3,11,41,153,571,2131,7953,29681,110771）
f(n)=3*f(n-2)+2*(f(n-4)+...+f(2)); (n为偶数，且f(0)=1,f[2]=3)
void GPII(int n)
{
int a[17],sum=0;
a[0]=0,a[1]=1;
for(int i=2;i<=16;i++)
{
sum=sum+a[i-2];
a[i]=3*a[i-1]+2*sum;
}
if(n%2==1)
cout<<0<else
cout<2+1]< （22）切西瓜问题（2,3,5,8,12,17,23,30,38,47,57,68）
F(n)=(n*n-n+4)/2;
int QXG(int n)
{
return (n*n-n+4)/2;
}