信息与熵值的计算

原文地址https://blog.csdn.net/kuang_liu/article/details/21469553

1. 什么是信息？

信息的定义涉及概率论中的随机事件概率，如果待分类事物可能划分在多个分类之中，则符号 X_i 的信息定义为：

其中 p(x_i) 是选择该分类的概率。（该定义来自于《机器学习实战》P35）

举个例子：已知事件 X 的概率分布如下，计算符号 X 的信息：

X	X0	X1
p	0.5	0.5

l(x₀)  = -log₂p(x₀) = -log₂(0.5) = 1

l(x₁) = l(x₀) = 1

说明：

• 信息永远≥ 0；
• 确定事件(p = 1)，信息 = 0；

这里引用香农《信息论》的一句话来帮助理解信息的物理含义：

“logn(q)表示具有总概率q的那些最可能序列为了描述序列所需要的二进制位数”。

可见信息的物理含义是通信编码所需要的比特数。结合上面的例子，X 有两种取值，用 1bit 就可以编码。与计算出的 信息 = 1 相吻合。

2. 什么是熵？

熵定义为：信息的数学期望。

所以熵的本质也还是信息，信息的本质是编码所需的比特位数。所以熵也是来衡量编码位数的。

我们知道熵越大，就越无序，越混乱。直觉上一个确定的事件熵应该 = 0。

下面举几个例子

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已知事件X 的概率分布：

X	X0	X1
p	1	0

计算 X 的熵。

根据公式，熵 H 是信息的期望，先求信息：

l(x₀) = -log₂(p(x₀)) = -log₂(1) = 0

l(x1) = -log₂(0) = -Infinity

所以 H = l(x₀) * p(x₀) + l(x₁) * p(x₁) = 0 * 1 - 0 * Infinity = 0，结果与确定事件熵为 0 相吻合。

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已知事件 X 的概率分布：

X	X0	X1
p	0.5	0.5

计算 X 的熵。

l(x₀) = l(x₁) = -log₂(0.5) = 1

H = 0.5 * 1 + 0.5 * 1 = 1，可见不确定事件比确定事件熵要大，即数据更混乱。

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已知事件 X 的概率分布：

X	X0	X1	X2
p	1/3	1/3	1/3

计算  X 的熵。

首先直觉上猜测一下这次 X 取三个值，比上一次更混乱，熵应该更大才对。

l(x₀) = l(x₁) = l(x₂) = -log₂(1/3) = 1.585

H = 3 * 1.585 * 1/3 = 1.585

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可见：

• 确定事件熵最小 = 0；
• 随机事件 X 可以取的值越多，对应的熵值越大，也就是通常说的越“混乱”。

前边理解的熵其实也是一种编码所需的比特位数的一种度量参数。

例 1 中，确定事件无需编码，0 个bit位，与计算出的熵 = 0 吻合；

例 2 中，两种情形的等概率事件，1 个bit位就可以编码，与计算出的熵 = 1吻合；

例 2 中，三种情形的等概率事件，2 个bit位就可以编码，与计算出的熵 = 1.58 ≈ 2 也算吻合；（如果是四种情形的话就正好等于2！）

下面引用一些《信息论》中的图片和文字。

具有概率 p 和 q = 1 - p 两种可能性情况下，它的熵为：

熵与 p 的关系图（作者注：注意 Y 轴熵 H 下面写的是 bits，也就是编码需要的 bit 数）

说明：

• 当且仅当所有概率p_i 除了一个之外其余所有概率 = 0 时， H = 0。换句话说，仅仅在结果完全确定的情况下 H 才 = 0，否则 H > 0；
• 如果所有的 p_i 相等，即 p_i = 1/n，则 H 取得最大值 = logn。这对应着最不确定，最混乱的情形；
• 任何一种使概率p₁, p₂, ..., p_n 趋于均等的变动，都会使 H 增大。

后记：

在 Tom M. Mitchell 著的《Machine Learning》P41 关于熵的解释写到：

“信息论中的熵的一种解释是，熵确定了要编码集合 S 中任意成员（即以均匀的概率随机抽取的一个成员）的分类所需要的最少的二进制位数。”