一个数列的通项公式

考虑数列 An­­ = {2,3,4,9,8,27,16,81,32,…}，现在构建其通项公式

第一步. 观察该数列

An 可以进行如下分解：

n	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5	n=6	n=7	n=8	n=9	…	备注
An	2	3	4	9	8	27	16	81	32	…	原始数列
n1	n1 =1		n1 =2		n1 =3		n1 =4		n1 =5	…
An1	2		4		8		16		32	…	拆出来的第一个数列
An1	21		22		23		24		25	…
n2		n2 =1		n2 =2		n2 =3		n2 =4		…
An2		3		9		27		81		…	拆出来的第二个数列
An2		31		32		33		34		…

因此，An可以写成

An=BCnn(1)

的形式，其中：

Bn={2,3,2,3,2,3,2,3,...}

Cn={1,1,2,2,3,3,4,4,...}

第二步. 研究底数 Bn ，它的规律来观察一下

n	1	2	3	4	5	6	7	8
Bn	2	3	2	3	2	3	2	3
n的奇偶性	奇	偶	奇	偶	奇	偶	奇	偶

也就是当 n 为奇数时 Bn 等于 2，n 为偶数时 Bn 等于3
那么 Bn 可以写成

Bn=2Xn+3Yn(2)

的形式。
其中：

Xn={1,0,当 n 为奇数时当 n 为偶数时

Yn={0,1,当 n 为奇数时当 n 为偶数时

即：

Xn=1+(−1)n−12(3)

Yn=1+(−1)n2(4)

凡是数列出现按照奇偶规律的变化时，我们一般利用 -1 这个数字，它的奇数次方等于 -1，它的偶数次方等于 1，因此把（3）（4）代入（2），可以将 Bn写成：

Bn=2×1+(−1)n−12+3×1+(−1)n2=5+(−1)n2(5)

第三步. 现在来研究指数 Cn，同样首先观察下它的规律：

n	1	2	3	4	5	6	7	8
Cn	1	1	2	2	3	3	4	4
n的奇偶性	奇	偶	奇	偶	奇	偶	奇	偶

进一步摸索其规律，发现它可以写成

n	1	2	3	4	5	6	7	8
Cn	1-0	2-1	3-1	4-2	5-2	6-3	7-3	8-4
减掉的数	0	1	1	2	2	3	3	4

进一步分析规律，可以有两种考虑方式：
第一种是进一步写成如下形式

Cn={1−12+12,2−22+0,3−32+12,4−42+0,5−52+12,...}

即

Cn={n−n2+12,n−n2+0,当 n 为奇数时当 n 为偶数时 (6)

考虑到前面提到的 -1 的性质，因此可以将 Cn 写成：

化简为：

Cn=2n+1+(−1)n−14(7)

因此，综合（1）、（5）和（7）可知：

An=(5+(−1)n2)(2n+1+(−1)n−14)(8)

处理 Cn 的第二种办法，再来观察

n	1	2	3	4	5	6	7	8
Cn	1	1	2	2	3	3	4	4
换种写法	1-0	2-1	3-1	4-2	5-2	6-3	7-3	8-4
减掉的数	0	1	1	2	2	3	3	4

按照整除法（舍弃余数，只留商），减掉的数正好是 n 以 2 整除的商，即（我们定义 n % 2 表示用 2 整除 n）

n	1	2	3	4	5	6	7	8
Cn	1	1	2	2	3	3	4	4
换种写法	1-0	2-1	3-1	4-2	5-2	6-3	7-3	8-4
减掉的数	0	1	1	2	2	3	3	4
被减数另种写法	1%2	2%2	3%2	4%2	5%2	6%2	7%2	8%2

因此， Cn 可以简单地写为：

Cn=n−n%2(9)

故而，综合 （1）、（5）和（9）可知：

An=(5+(−1)n2)(n−n%2)(10)