【算法-动态规划】-最大子段和

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解为若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适用与动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。

分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题相同。递归的求解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

如果用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要的时再找出已求得的答案这样就可以避免大量的重复计算，从而得到多项式时间算法。为了达到此目的，可以用一个表来记录所有已经解决的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思想。

动态规划算法适用于解最优化问题。通常可按以下四个步骤设计：

（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。

（2）递归地定义最优值。

（3）以自底向上的方式计算出最优值。

（4）根据最优值得到的信息，构造最优解。

1.动态规划求解最大字段和

问题描述：给定由n个正数（可能为负整数）组成的序列a1,a2,...,an,求该序列形如的子段和的最大值，当所有正数均为负整数时定义其最大字段和为0.依此定义，所求的最优值为

                                         

例如，当（a1,a2,a3,a4,a5,a6）=(-2,11,-4,13,-5.-2)时，最大的字段和为

求解步骤：

（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征

记，则所求的最大字段和为

由b[j]的定义易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j],否则b[j]=a[j]

（2）递归地定义最优值。

          b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1<=j<=n

（3）以自底向上的方式计算出最优值。

算法如下：

public class MaxSumClass3{
	public static int MaxSum(int n,int[] a){
		int sum=0,b=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(b<0)b=a[i];
			else b=b+a[i];
			if(b>sum)
				sum=b;
		}
		return sum;
	}
	public static void main(String[] args){
		int n=6;
		int[] a={0,-2,11,-4,13,-5,-2};
		System.out.println(MaxSum(n,a));
	}
}